Demuestre que el conjunto 𝑊:= {(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) ∈ ℝ
4
: 3𝑥 −𝑦 + 2𝑧 −2𝑤 = 0} es un 
subespacio vectorial del espacio vectorial ℝ
4
.


Para demostrar que el conjunto \( W := \{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^4 : 3x - y + 2z - 2w = 0\} \) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^4\), necesitamos verificar que cumple con las tres propiedades que definen un subespacio vectorial:

1. **El conjunto debe contener el vector cero.**
2. **El conjunto debe ser cerrado bajo la adición.**
3. **El conjunto debe ser cerrado bajo la multiplicación por un escalar.**

### 1. El conjunto contiene el vector cero

El vector cero en \(\mathbb{R}^4\) es \( \mathbf{0} = (0, 0, 0, 0) \). Sustituyamos este vector en la ecuación que define el conjunto \( W \):

\[
3(0) - 1(0) + 2(0) - 2(0) = 0
\]

La ecuación se cumple, por lo tanto, \( \mathbf{0} \in W \). Esto prueba que el conjunto \( W \) contiene el vector cero.

### 2. Cierre bajo la adición

Sean \(\mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1, w_1)\) y \(\mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2, w_2)\) dos vectores cualesquiera en \( W \). Entonces, por definición, cumplen:

\[
3x_1 - y_1 + 2z_1 - 2w_1 = 0 \quad \text{y} \quad 3x_2 - y_2 + 2z_2 - 2w_2 = 0
\]

Queremos demostrar que la suma \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2)\) también pertenece a \( W \). Sustituyamos \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) en la ecuación de \( W \):

\[
3(x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) + 2(z_1 + z_2) - 2(w_1 + w_2)
\]

Podemos distribuir y reorganizar:

\[
= (3x_1 - y_1 + 2z_1 - 2w_1) + (3x_2 - y_2 + 2z_2 - 2w_2)
\]

Dado que ambos términos son iguales a 0 por la suposición inicial, la suma también es igual a 0:

\[
(3x_1 - y_1 + 2z_1 - 2w_1) + (3x_2 - y_2 + 2z_2 - 2w_2) = 0 + 0 = 0
\]

Esto prueba que \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W \), es decir, \( W \) es cerrado bajo la adición.

### 3. Cierre bajo la multiplicación por un escalar

Sea \(\mathbf{u} = (x, y, z, w)\) un vector en \( W \) y sea \(c \in \mathbb{R}\) un escalar cualquiera. Queremos demostrar que \(c\mathbf{u} = (cx, cy, cz, cw)\) también pertenece a \( W \). Sustituyamos \(c\mathbf{u}\) en la ecuación de \( W \):

\[
3(cx) - (cy) + 2(cz) - 2(cw)
\]

Podemos factorizar el escalar \(c\):

\[
= c(3x - y + 2z - 2w)
\]

Dado que \( \mathbf{u} \in W \), sabemos que \( 3x - y + 2z - 2w = 0 \), lo que implica:

\[
c(3x - y + 2z - 2w) = c \cdot 0 = 0
\]

Esto prueba que \( c\mathbf{u} \in W \), es decir, \( W \) es cerrado bajo la multiplicación por un escalar.

### Conclusión

Dado que \( W \) cumple las tres propiedades necesarias (contiene el vector cero, es cerrado bajo la adición y es cerrado bajo la multiplicación por un escalar), podemos concluir que \( W \) es un subespacio vectorial de \( \mathbb{R}^4 \).

¿Te gustaría obtener más detalles sobre alguna parte de la demostración?

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**Preguntas Relativas:**

1. ¿Cómo se determina si un conjunto en \(\mathbb{R}^n\) es un subespacio vectorial?
2. ¿Cuál es el rol del vector cero en la definición de un subespacio vectorial?
3. ¿Qué significa que un conjunto sea cerrado bajo la adición?
4. ¿Cómo afecta la multiplicación por un escalar en un subespacio vectorial?
5. ¿Qué otras propiedades son necesarias para demostrar que un conjunto es un subespacio vectorial?
6. ¿Qué importancia tiene el cierre bajo la adición en la teoría de subespacios?
7. ¿Existen subespacios vectoriales que no contengan el vector cero? ¿Por qué?
8. ¿Cómo se relaciona esta demostración con la noción de independencia lineal?

**Tip:** Al trabajar con subespacios vectoriales, es útil recordar que todos los subespacios deben contener el vector cero. Si un conjunto no contiene el vector cero, no puede ser un subespacio.

Learn how to demonstrate that the set 𝑊 := {(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) ∈ ℝ⁴ : 3𝑥 −𝑦 + 2𝑧 −2𝑤 = 0 is a subspace vector of ℝ⁴ with a detailed mathematical proof. Understand the properties required for a set to be considered a vector subspace, including closure under addition and scalar multiplication.

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