El problema es calcular la integral definida: [ \int_{-2}^{-1} \left( u - \frac{1}{u^2} \right) du ]

El problema es calcular la integral definida:

\[
\int_{-2}^{-1} \left( u - \frac{1}{u^2} \right) du
\]

### Paso 1: Separar la integral
Podemos separar la integral en dos partes para resolverla por separado:

\[
\int_{-2}^{-1} \left( u - \frac{1}{u^2} \right) du = \int_{-2}^{-1} u \, du - \int_{-2}^{-1} \frac{1}{u^2} \, du
\]

### Paso 2: Calcular las integrales

1. **Integral de \( u \):**
   \[
   \int u \, du = \frac{u^2}{2}
   \]
   Evaluamos entre los límites -2 y -1:
   \[
   \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}
   \]

2. **Integral de \( \frac{1}{u^2} \):**
   Recordemos que \( \frac{1}{u^2} \) es igual a \( u^{-2} \), y su integral es:
   \[
   \int u^{-2} \, du = -u^{-1} = -\frac{1}{u}
   \]
   Evaluamos entre los límites -2 y -1:
   \[
   \left[ -\frac{1}{u} \right]_{-2}^{-1} = -\frac{1}{-1} - \left( -\frac{1}{-2} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
   \]

### Paso 3: Sumar los resultados
Finalmente, sumamos los resultados de ambas integrales:

\[
-\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1
\]

### Respuesta final:
\[
\int_{-2}^{-1} \left( u - \frac{1}{u^2} \right) du = -1
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se integran funciones más complejas que contienen fracciones?
2. ¿Cómo se evalúan integrales con límites infinitos?
3. ¿Qué sucede cuando el integrando contiene una raíz cuadrada?
4. ¿Cómo se usa la integración por partes en problemas similares?
5. ¿Cuándo es útil utilizar el método de sustitución para integrar?

**Tip:** Siempre que se trate de fracciones algebraicas, descomponer la integral en partes más simples facilita mucho el cálculo.

Solve the definite integral \int_{-2}^{-1} \left( u - \frac{1}{u^2} \right) du step-by-step. This detailed solution covers key calculus concepts, including the integration of algebraic functions and the fundamental theorem of calculus. Suitable for college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation