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cual debe ser el valor de a para que exista el limite

El límite que se está evaluando es el siguiente:

\[
\lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + ax + a + 3}{x^2 + x - 2}
\]

Para que el límite exista, es importante que el denominador no sea cero cuando \(x = -2\). Evaluemos primero el denominador:

\[
x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
\]

Como puedes ver, el denominador se anula cuando \(x = -2\), ya que \(x + 2 = 0\) en este valor de \(x\). Esto significa que debemos hacer algo con el numerador para que también se anule en \(x = -2\), de modo que podamos simplificar la expresión y encontrar el límite.

Entonces, evaluemos el numerador cuando \(x = -2\):

\[
3(-2)^2 + a(-2) + a + 3 = 12 - 2a + a + 3 = 15 - a
\]

Para que el numerador sea cero cuando \(x = -2\), necesitamos que:

\[
15 - a = 0
\]

De modo que \(a = 15\).

Así que el valor de \(a\) debe ser **15** para que exista el límite.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se simplificaría la fracción cuando \(a = 15\)?
2. ¿Qué ocurre si \(a\) toma un valor distinto de 15?
3. ¿Qué sucede cuando un límite tiene una indeterminación \(0/0\)?
4. ¿Cómo se factoriza el numerador con el valor \(a = 15\)?
5. ¿Es posible evaluar este límite utilizando otras técnicas, como la regla de L'Hopital?

**Tip**: Siempre que un límite produzca una indeterminación del tipo \(0/0\), intenta factorizar el numerador y el denominador antes de aplicar otros métodos.

Determine the value of a for the limit of the rational function to exist as x approaches -2. Explore concepts like polynomial factorization, solving indeterminate forms, and understanding limits in calculus. Suitable for high school students.

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