Evaluando a 120 alumnas de 4to año de la IEMA, se obtuvieron los siguientes resultados: 
- 23 aprobaron sólo matemática, 

- 16 aprobaron sólo CTA, 

- 15 aprobaron sólo comunicación, 

- 12 aprobaron las 3 áreas. 

De las que aprobaron matemática, 35 aprobaron CTA o comunicación. 

De las que aprobaron CTA, 29 aprobaron matemática o comunicación, 

De las que aprobaron comunicación, 32 aprobaron matemática o CTA, 

De acuerdo con esta información, ¿Cuántas alumnas no aprobaron ninguna de las 3 áreas?

El problema consiste en determinar cuántas alumnas no aprobaron ninguna de las tres áreas: Matemática, CTA y Comunicación. Para resolverlo, se puede utilizar el principio de inclusión-exclusión y el uso de diagramas de Venn. Primero, definamos las variables necesarias:

- Sea \( M \) el conjunto de alumnas que aprobaron Matemática.
- Sea \( C \) el conjunto de alumnas que aprobaron CTA.
- Sea \( L \) el conjunto de alumnas que aprobaron Comunicación.
  
De la información dada:

- \( |M \cap C^c \cap L^c| = 23 \) (alumnas que aprobaron sólo Matemática),
- \( |M^c \cap C \cap L^c| = 16 \) (alumnas que aprobaron sólo CTA),
- \( |M^c \cap C^c \cap L| = 15 \) (alumnas que aprobaron sólo Comunicación),
- \( |M \cap C \cap L| = 12 \) (alumnas que aprobaron las tres áreas).

Además, las siguientes relaciones son claves:

- De las que aprobaron Matemática, 35 aprobaron CTA o Comunicación:
  \[
  |M \cap (C \cup L)| = 35
  \]
- De las que aprobaron CTA, 29 aprobaron Matemática o Comunicación:
  \[
  |C \cap (M \cup L)| = 29
  \]
- De las que aprobaron Comunicación, 32 aprobaron Matemática o CTA:
  \[
  |L \cap (M \cup C)| = 32
  \]

### Paso 1: Determinar el total de alumnas que aprobaron alguna área

Primero, encontremos cuántas alumnas aprobaron alguna de las tres áreas utilizando el principio de inclusión-exclusión. Definimos las siguientes variables:

- \( A_1 \) es el número de alumnas que aprobaron Matemática (\( |M| \)),
- \( A_2 \) es el número de alumnas que aprobaron CTA (\( |C| \)),
- \( A_3 \) es el número de alumnas que aprobaron Comunicación (\( |L| \)).

Para encontrar \( |M \cup C \cup L| \), aplicamos el principio de inclusión-exclusión:

\[
|M \cup C \cup L| = |M| + |C| + |L| - |M \cap C| - |M \cap L| - |C \cap L| + |M \cap C \cap L|
\]

Sabemos que \( |M \cap C^c \cap L^c| = 23 \), \( |M^c \cap C \cap L^c| = 16 \), \( |M^c \cap C^c \cap L| = 15 \), y \( |M \cap C \cap L| = 12 \). Para calcular los valores de las intersecciones, usemos las relaciones dadas.El número de alumnas que no aprobaron ninguna de las tres áreas es 54.

¿Te gustaría más detalles sobre el proceso? Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se aplica el principio de inclusión-exclusión en otros problemas similares?
2. ¿Qué otras formas hay de resolver problemas con conjuntos y áreas comunes?
3. ¿Cómo se modelan estos problemas utilizando diagramas de Venn?
4. ¿Cómo influyen los distintos tipos de intersecciones en la resolución de este tipo de problemas?
5. ¿Cómo se puede comprobar la consistencia de los resultados obtenidos?

**Tip:** En problemas de conjuntos, el principio de inclusión-exclusión es útil para evitar contar dos veces las intersecciones entre subconjuntos.

Evaluando a 120 alumnas de 4to año de la IEMA, se obtuvieron los siguientes resultados: 
- 23 aprobaron sólo matemática, 
- 16 aprobaron sólo CTA, 
- 15 aprobaron sólo comunicación, 
- 12 aprobaron las 3 áreas. 
De las que aprobaron matemática, 35 aprobaron CTA o comunicación. 
De las que aprobaron CTA, 29 aprobaron matemática o comunicación, 
De las que aprobaron comunicación, 32 aprobaron matemática o CTA, 
De acuerdo con esta información, ¿Cuántas alumnas no aprobaron ninguna de las 3 áreas?

Resuelve cuántas alumnas de 4to año no aprobaron ninguna de las tres áreas: Matemática, CTA o Comunicación. Aprende a usar el principio de inclusión-exclusión y diagramas de Venn para resolver problemas de conjuntos. Apto para estudiantes de secundaria de grados 10-12.

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