pedro deseja pintar quadradinhos de tabuleiros de modo que a quantidade de quadradinhos pintados em qualquer subtabuleiro 3 x 3 seja sempre um numero impar. de quantas maneiras pedro pode pintar um tabuleiro m x n (resolva usando funcao geradora) 

Para resolver o problema de quantas maneiras Pedro pode pintar um tabuleiro \( m \times n \) de modo que a quantidade de quadradinhos pintados em qualquer subtabuleiro \( 3 \times 3 \) seja sempre um número ímpar, podemos utilizar a técnica de funções geradoras.

### Passo 1: Entendimento do Problema
Primeiramente, é importante entender que a condição para qualquer subtabuleiro \( 3 \times 3 \) conter um número ímpar de quadradinhos pintados implica uma certa regularidade na pintura dos quadradinhos. Podemos notar que:

- A paridade dos quadradinhos pintados em subtabuleiros menores deve "se propagar" pelo tabuleiro maior de forma consistente.

### Passo 2: Caracterização das Restrições
Consideremos a restrição imposta a um subtabuleiro \( 3 \times 3 \). Para um dado subtabuleiro, se temos \( a_{ij} \) representando se o quadradinho na posição \( (i, j) \) está pintado (\( a_{ij} = 1 \)) ou não (\( a_{ij} = 0 \)), a soma de \( a_{ij} \) em um subtabuleiro \( 3 \times 3 \) deve ser ímpar.

### Passo 3: Construção da Função Geradora
Vamos construir uma função geradora \( G(x) \) que conta o número de maneiras de pintar um tabuleiro \( m \times n \). Essa função é influenciada pela regra de paridade imposta.

Seja \( g(x) \) a função geradora que conta as maneiras de pintar um único subtabuleiro \( 3 \times 3 \), levando em conta que a soma de seus termos deve ser ímpar. Cada quadradinho pode estar pintado ou não, então \( g(x) \) considera:

\[
g(x) = \sum_{k \text{ ímpar}} \binom{9}{k} x^k
\]

onde \( k \) é o número de quadradinhos pintados no subtabuleiro \( 3 \times 3 \).

Agora, para cobrir um tabuleiro \( m \times n \), precisamos multiplicar as contribuições de todos os subtabuleiros \( 3 \times 3 \) que podem existir no tabuleiro \( m \times n \). A função geradora total \( G(x) \) será, portanto, uma potência da função \( g(x) \):

\[
G(x) = \left( g(x) \right)^{\text{número de subtabuleiros } 3 \times 3 \text{ em } m \times n}
\]

A quantidade de subtabuleiros \( 3 \times 3 \) em um tabuleiro \( m \times n \) é \( (m-2) \times (n-2) \).

Portanto, a função geradora completa é:

\[
G(x) = \left( \sum_{k \text{ ímpar}} \binom{9}{k} x^k \right)^{(m-2)(n-2)}
\]

### Passo 4: Solução
Para encontrar o número de maneiras possíveis de pintar o tabuleiro, precisamos calcular o coeficiente de \( x^{mn} \) em \( G(x) \). Isso pode ser feito expandindo a função geradora, mas para simplificação podemos notar que cada subtabuleiro \( 3 \times 3 \) tem exatamente 256 formas de serem pintados com um número ímpar de quadradinhos pintados (já que a soma das combinações de números ímpares de 9 elementos é 256).

Assim, a solução final é:

\[
\text{Número de maneiras} = 256^{(m-2)(n-2)}
\]

Essa é a quantidade de maneiras que Pedro pode pintar o tabuleiro \( m \times n \) de modo que qualquer subtabuleiro \( 3 \times 3 \) tenha um número ímpar de quadradinhos pintados.

### Perguntas Relacionadas:
1. Como seria a solução para subtabuleiros \( 2 \times 2 \) com a mesma condição?
2. Se mudássemos a restrição para subtabuleiros \( 4 \times 4 \), como mudaria a solução?
3. Como a função geradora mudaria se a paridade fosse par ao invés de ímpar?
4. Existe uma maneira de simplificar ainda mais o cálculo usando simetria?
5. Como seria a solução para tabuleiros \( m \times m \) com \( m \) pequeno, como \( 4 \times 4 \) ou \( 5 \times 5 \)?
6. Como podemos visualizar a aplicação da função geradora nesse contexto?
7. Se o tabuleiro fosse tridimensional, como isso afetaria a solução?
8. Quais são as aplicações práticas desse tipo de problema?

### Dica:
Utilizar funções geradoras é uma técnica poderosa em combinatória, especialmente para contar estruturas que obedecem a restrições complexas.

Explore how to determine the number of ways Pedro can paint a board of dimensions m x n such that every 3 x 3 subboard contains an odd number of painted squares. This problem involves combinatorial counting using generating functions and binomial coefficients.

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