Vamos aplicar o resultado ao caso específico em que \( m = 3 \) e \( n = 4 \).

### Relembrando a Solução Geral
Encontramos que a quantidade de maneiras de pintar um tabuleiro \( m \times n \) de modo que a quantidade de quadradinhos pintados em qualquer subtabuleiro \( 3 \times 3 \) seja um número ímpar é dada por:

\[
\text{Número de maneiras} = 256^{(m-2)(n-2)}
\]

### Aplicando para \( m = 3 \) e \( n = 4 \)
Vamos calcular o número de subtabuleiros \( 3 \times 3 \) que podem existir no tabuleiro \( 3 \times 4 \):

\[
(m-2)(n-2) = (3-2)(4-2) = 1 \times 2 = 2
\]

Portanto, a quantidade de maneiras de pintar o tabuleiro \( 3 \times 4 \) será:

\[
\text{Número de maneiras} = 256^2 = 65536
\]

### Resposta Final
Pedro pode pintar o tabuleiro \( 3 \times 4 \) de \( 65.536 \) maneiras diferentes, garantindo que qualquer subtabuleiro \( 3 \times 3 \) contenha um número ímpar de quadradinhos pintados.

### Perguntas Relacionadas:
1. Como seria a solução para \( m = 4 \) e \( n = 4 \)?
2. Como o resultado muda se o tabuleiro for \( 5 \times 5 \)?
3. O que aconteceria se a condição fosse um número par de quadradinhos pintados em subtabuleiros \( 3 \times 3 \)?
4. Como podemos interpretar a função geradora para \( m = 3 \) e \( n = 4 \)?
5. Qual é a diferença no número de maneiras de pintar entre tabuleiros \( 3 \times 3 \) e \( 3 \times 4 \)?
6. Como a restrição de paridade influencia a simetria no tabuleiro?
7. Se considerássemos subtabuleiros maiores, como \( 4 \times 4 \), qual seria o impacto no cálculo?
8. Existe alguma relação entre o número de subtabuleiros e o número total de maneiras de pintar o tabuleiro?

### Dica:
Quando \( m \) e \( n \) são pequenos, calcular manualmente o número de maneiras pode ser uma boa forma de verificar a solução obtida por meio de funções geradoras.

Explore how to count the number of ways to paint a 3x4 grid so that every 3x3 subgrid contains an odd number of painted squares. Detailed solution and calculations provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation