porque al elevar el denominador al cuadrado solo se aplica la potencia para el factor común 2x?

Tienes razón, al elevar al cuadrado el denominador, la potencia debe aplicarse a todos los factores, no solo al factor común \(2x\). Vamos a corregir el error y simplificar adecuadamente la expresión:

### Paso 1: Factorizar el numerador y el denominador
El numerador es \(x^2 - 4\):
\[ x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) \]

El denominador es \(18x^3 - 6x^2y + 2xy^2\):
Podemos factorizar sacando un factor común de \(2x\):
\[ 18x^3 - 6x^2y + 2xy^2 = 2x(9x^2 - 3xy + y^2) \]

### Paso 2: Reescribir la fracción con los factores
Reescribamos la fracción utilizando los factores encontrados:
\[ \frac{(x + 2)(x - 2)}{2x(9x^2 - 3xy + y^2)} \]

### Paso 3: Elevar al cuadrado la fracción simplificada
Ahora elevamos toda la fracción simplificada al cuadrado:
\[ \left( \frac{(x + 2)(x - 2)}{2x(9x^2 - 3xy + y^2)} \right)^2 = \frac{((x + 2)(x - 2))^2}{(2x(9x^2 - 3xy + y^2))^2} \]

### Paso 4: Simplificar las potencias
Simplificamos las potencias en el numerador y denominador:
Numerador:
\[ ((x + 2)(x - 2))^2 = (x + 2)^2 (x - 2)^2 \]

Denominador:
\[ (2x(9x^2 - 3xy + y^2))^2 = (2x)^2 (9x^2 - 3xy + y^2)^2 \]

Aplicamos las potencias correctamente:
\[ (2x)^2 = 4x^2 \]
Por lo tanto:
\[ (2x(9x^2 - 3xy + y^2))^2 = 4x^2 (9x^2 - 3xy + y^2)^2 \]

### Expresión Simplificada
La expresión completa es:
\[ \frac{(x + 2)^2 (x - 2)^2}{4x^2 (9x^2 - 3xy + y^2)^2} \]

Ahora la simplificación es correcta.

Si tienes alguna pregunta o necesitas más detalles, ¡házmelo saber!

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### Consejo:
Al trabajar con fracciones algebraicas, asegúrate de aplicar las propiedades de las potencias de manera uniforme a todos los factores del numerador y del denominador.

Understand how to correctly apply exponentiation rules in polynomial simplification. Explore a step-by-step solution involving factorization and correct power application. Suitable for high school students studying algebra.

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