Transforme el siguiente número complejo de su representación rectangular a exponencial.

﻿menos 8 raíz cuadrada de 2 i﻿

El número complejo dado es \( -8\sqrt{2}i \), y está en su forma rectangular. Para convertirlo a su forma exponencial, debemos seguir los siguientes pasos:

1. **Determinar el módulo \( r \)**:
   El módulo de un número complejo \( z = a + bi \) se calcula como:
   \[
   r = \sqrt{a^2 + b^2}
   \]
   En este caso, \( a = 0 \) y \( b = -8\sqrt{2} \).

   Entonces:
   \[
   r = \sqrt{0^2 + (-8\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}
   \]

2. **Calcular el argumento \( \theta \)**:
   El argumento \( \theta \) es el ángulo que el vector forma con el eje real positivo. Se puede calcular usando la función arcotangente, pero dado que \( a = 0 \) y el número es puramente imaginario y negativo, sabemos que el ángulo \( \theta \) es \( \frac{3\pi}{2} \) (270 grados).

3. **Escribir la forma exponencial**:
   La forma exponencial de un número complejo se escribe como:
   \[
   z = r e^{i\theta}
   \]
   Sustituyendo los valores obtenidos:
   \[
   z = 8\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}
   \]

Por lo tanto, la representación exponencial del número complejo \( -8\sqrt{2}i \) es:
\[
8\sqrt{2} \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se determina el ángulo para números complejos en otras posiciones?
2. ¿Qué significa la forma exponencial de un número complejo?
3. ¿Cómo se convierte de forma exponencial a rectangular?
4. ¿Cómo se representa un número complejo en forma polar?
5. ¿Cuál es la diferencia entre forma polar y exponencial en números complejos?

**Tip:** La forma exponencial de un número complejo es muy útil para multiplicar y dividir números complejos, ya que simplifica estas operaciones utilizando las propiedades de los exponentes.

Learn how to convert the complex number -8√2i from rectangular to exponential form step-by-step. Understand the module and argument calculations required. Suitable for high school students studying complex numbers in math.

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