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resuelve lo que pide en la imagen adjunta

La función que aparece en la imagen es la siguiente:

\[
f(x) = \begin{cases} 
\frac{1}{x} + \frac{3}{3x - x^3} & \text{si } x \neq 0 \\
0 & \text{si } x = 0
\end{cases}
\]

Y la pregunta es si la función es continua en el intervalo \([-1, 1]\).

### Paso 1: Verificar la continuidad en \(x \neq 0\)

La función está definida de forma diferente en \(x = 0\) que en \(x \neq 0\). Primero revisemos la continuidad en \(x \neq 0\).

La función para \(x \neq 0\) es:

\[
f(x) = \frac{1}{x} + \frac{3}{3x - x^3}
\]

Esta función es continua siempre que los denominadores no sean cero, es decir:

1. \(\frac{1}{x}\) es continua siempre que \(x \neq 0\).
2. \(\frac{3}{3x - x^3}\) es continua siempre que \(3x - x^3 \neq 0\).

El segundo denominador, \(3x - x^3 = x(3 - x^2)\), es igual a cero cuando \(x = 0\) o \(x = \pm \sqrt{3}\). Como estamos interesados en el intervalo \([-1, 1]\), notamos que \(\sqrt{3} > 1\), por lo que no afecta la continuidad en este intervalo. Entonces, la única discontinuidad potencial en este intervalo ocurre en \(x = 0\).

### Paso 2: Verificar la continuidad en \(x = 0\)

Para verificar la continuidad en \(x = 0\), calculamos los límites laterales en \(x = 0\) y los comparamos con el valor de la función en \(x = 0\), que es 0:

\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)
\]

#### Límite cuando \(x \to 0\)

Veamos qué pasa cuando \(x \to 0\) en la función \(f(x) = \frac{1}{x} + \frac{3}{3x - x^3}\):

- El primer término, \(\frac{1}{x}\), tiende a \(+\infty\) o \(-\infty\) dependiendo de si \(x\) tiende a 0 por la derecha o por la izquierda, lo cual indica una discontinuidad infinita en \(x = 0\).

### Conclusión:

La función **no es continua** en \(x = 0\) debido a que los límites laterales tienden a infinito y no coinciden con el valor de la función en \(x = 0\), que es 0.

Por lo tanto, **la función no es continua en el intervalo \([-1, 1]\)**.

---

¿Te gustaría que profundice en algún aspecto o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina si una función es continua en un punto específico?
2. ¿Qué sucede si los límites laterales no coinciden en un punto?
3. ¿Cómo afectan las discontinuidades infinitas la continuidad de una función?
4. ¿Cuáles son los diferentes tipos de discontinuidades que puede tener una función?
5. ¿Cómo podemos verificar la derivabilidad de una función en un

¿Es continua la función f(x) en el intervalo [-1, 1]?

This problem asks if the given piecewise function, involving limits and continuity concepts, is continuous on the interval [-1, 1]. It covers important calculus principles such as limits and continuity at specific points.

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