analisis de funcioncompleto de la funcion siguiente f(x)=e´x(2x´2)

Vamos a realizar un análisis completo de la función \( f(x) = e^x(2x^2) \), que parece ser un producto entre una función exponencial \( e^x \) y un polinomio \( 2x^2 \).

### 1. Dominio de la función
El dominio de la función se refiere a los valores de \( x \) para los cuales la función está definida. Dado que tanto la exponencial \( e^x \) como el polinomio \( 2x^2 \) están definidos para todos los números reales, el dominio es:

\[
D(f) = \mathbb{R}
\]

### 2. Derivada primera (f'(x))
Para analizar el comportamiento de crecimiento o decrecimiento de la función, calculamos la derivada primera utilizando la regla del producto. Si tenemos dos funciones \( u(x) = e^x \) y \( v(x) = 2x^2 \), la derivada del producto \( u(x)v(x) \) es:

\[
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]

- \( u'(x) = \frac{d}{dx}[e^x] = e^x \)
- \( v'(x) = \frac{d}{dx}[2x^2] = 4x \)

Sustituyendo en la fórmula de la derivada:

\[
f'(x) = e^x(2x^2) + e^x(4x)
\]
\[
f'(x) = e^x(2x^2 + 4x)
\]

### 3. Puntos críticos
Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero:

\[
f'(x) = e^x(2x^2 + 4x) = 0
\]

Dado que \( e^x \) nunca es cero, la ecuación se reduce a:

\[
2x^2 + 4x = 0
\]
\[
2x(x + 2) = 0
\]

De aquí obtenemos dos soluciones:

\[
x = 0 \quad \text{y} \quad x = -2
\]

Estos son los puntos críticos.

### 4. Segunda derivada (f''(x))
Para determinar la concavidad y los puntos de inflexión, calculamos la segunda derivada. Aplicamos nuevamente la regla del producto a la derivada que obtuvimos:

\[
f'(x) = e^x(2x^2 + 4x)
\]

Calculamos la derivada:

- La derivada de \( e^x \) es \( e^x \).
- La derivada de \( 2x^2 + 4x \) es \( 4x + 4 \).

Entonces:

\[
f''(x) = e^x(2x^2 + 4x) + e^x(4x + 4)
\]
\[
f''(x) = e^x( (2x^2 + 4x) + (4x + 4) )
\]
\[
f''(x) = e^x(2x^2 + 8x + 4)
\]

### 5. Concavidad y puntos de inflexión
Para determinar los puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero:

\[
f''(x) = e^x(2x^2 + 8x + 4) = 0
\]

Como \( e^x \) nunca es cero, resolvemos:

\[
2x^2 + 8x + 4 = 0
\]

Dividimos entre 2:

\[
x^2 + 4x + 2 = 0
\]

Aplicamos la fórmula general para resolver esta ecuación cuadrática:

\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2}
\]

\[
x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -2 \pm \sqrt{2}
\]

Estos son los puntos de inflexión.

### 6. Asintotas
- La función \( f(x) = e^x(2x^2) \) no tiene asíntotas horizontales ni verticales, dado que \( e^x \) tiende a infinito cuando \( x \to \infty \) o \( x \to -\infty \).

### Resumen del análisis:
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Puntos críticos**: \( x = 0 \) y \( x = -2 \)
- **Puntos de inflexión**: \( x = -2 + \sqrt{2} \) y \( x = -2 - \sqrt{2} \)
- **Concavidad**: Determinada por la segunda derivada.
  
¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre el análisis?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar en este análisis:

1. ¿Cómo afecta el término exponencial \( e^x \) al crecimiento de la función para valores grandes de \( x \)?
2. ¿Qué relación hay entre los puntos críticos y los extremos locales de una función?
3. ¿Cómo influye la segunda derivada en la concavidad y qué significa un cambio de concavidad en un punto?
4. ¿Cómo resolverías la ecuación cuadrática para los puntos de inflexión sin usar la fórmula general?
5. ¿Qué otros métodos gráficos podrían ayudar a entender mejor el comportamiento de esta función?

**Tip**: Recuerda que la segunda derivada no solo nos dice si la función es cóncava o convexa, también nos indica dónde la función cambia de concavidad, es decir, en los puntos de inflexión.

analisis de funcion completo de la funcion siguiente f(x)=e´x(2x´2)

Explore a complete analysis of the function f(x) = e^x(2x^2). Learn about its domain, critical points, first and second derivatives, concavity, and points of inflection. This analysis is suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation