analisis de funcioncompleto de la funcion siguiente f(x)=e´-x(2x´2)

Vamos a analizar la función \( f(x) = e^{-x(2x^2)} \) de manera completa. Esto incluye el dominio, rango, puntos críticos, intervalos de aumento y disminución, concavidad, puntos de inflexión y comportamiento asintótico.

### 1. Dominio

La función \( f(x) = e^{-x(2x^2)} \) está definida para todos los valores reales de \( x \). No hay restricciones en el exponente de la función exponencial. Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es \( \mathbb{R} \).

### 2. Rango

Dado que la función exponencial \( e^u \) (donde \( u \) es cualquier expresión) siempre es positiva, y \( e^{-x(2x^2)} \) es siempre positiva para cualquier valor de \( x \), el rango de \( f(x) \) será \( (0, 1] \).

### 3. Puntos Críticos

Para encontrar los puntos críticos, necesitamos encontrar la primera derivada de \( f(x) \) y luego igualarla a cero.

\[ f(x) = e^{-x(2x^2)} \]

Primero, usemos la regla de la cadena para derivar:

\[ f'(x) = e^{-x(2x^2)} \cdot \frac{d}{dx}[-x(2x^2)] \]

Calculemos la derivada de \(-x(2x^2)\):

\[ \frac{d}{dx}[-x(2x^2)] = -\frac{d}{dx}(2x^3) = -6x^2 \]

Entonces:

\[ f'(x) = e^{-x(2x^2)} \cdot (-6x^2) = -6x^2 e^{-2x^3} \]

Para encontrar los puntos críticos, igualamos la primera derivada a cero:

\[ -6x^2 e^{-2x^3} = 0 \]

La exponencial \( e^{-2x^3} \) nunca es cero, por lo que:

\[ -6x^2 = 0 \]

Esto implica que \( x = 0 \). Por lo tanto, \( x = 0 \) es un punto crítico.

### 4. Intervalos de Aumento y Disminución

Para determinar los intervalos de aumento y disminución, evaluamos el signo de \( f'(x) \) en los intervalos definidos por los puntos críticos.

\[ f'(x) = -6x^2 e^{-2x^3} \]

- Si \( x > 0 \), \( f'(x) < 0 \)
- Si \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \)

Por lo tanto, la función está disminuyendo en ambos intervalos \( (-\infty, 0) \) y \( (0, \infty) \).

### 5. Concavidad y Puntos de Inflexión

Para determinar la concavidad, necesitamos la segunda derivada de \( f(x) \).

\[ f'(x) = -6x^2 e^{-2x^3} \]

Ahora derivamos de nuevo:

\[ f''(x) = \frac{d}{dx}[-6x^2 e^{-2x^3}] \]

Usamos la regla del producto y la regla de la cadena:

\[ f''(x) = -6 \left(2x e^{-2x^3} + x^2 \frac{d}{dx}[e^{-2x^3}]\right) \]

Sabemos que:

\[ \frac{d}{dx}[e^{-2x^3}] = e^{-2x^3} \cdot \frac{d}{dx}[-2x^3] = e^{-2x^3} \cdot (-6x^2) \]

Entonces:

\[ f''(x) = -6 \left(2x e^{-2x^3} + x^2 \cdot (-6x^2 e^{-2x^3})\right) \]
\[ f''(x) = -6 \left(2x e^{-2x^3} - 6x^4 e^{-2x^3}\right) \]
\[ f''(x) = -12x e^{-2x^3} + 36x^4 e^{-2x^3} \]
\[ f''(x) = e^{-2x^3} (-12x + 36x^4) \]
\[ f''(x) = e^{-2x^3} (36x^4 - 12x) \]

Para analizar la concavidad, observamos los signos de \( f''(x) \):

- Si \( f''(x) > 0 \), la función es cóncava hacia arriba.
- Si \( f''(x) < 0 \), la función es cóncava hacia abajo.

El término \( e^{-2x^3} \) siempre es positivo, por lo que solo necesitamos evaluar \( 36x^4 - 12x \).

\[ 36x^4 - 12x = 12x(3x^3 - 1) \]

Para encontrar los puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero:

\[ 12x(3x^3 - 1) = 0 \]

Esto implica que \( x = 0 \) o \( 3x^3 = 1 \):

\[ x = 0 \]
\[ x = \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \]

Por lo tanto, tenemos dos puntos de inflexión en \( x = 0 \) y \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \).

### 6. Comportamiento Asintótico

Para el comportamiento asintótico, evaluamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to \infty \) y \( x \to -\infty \):

\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x(2x^2)} = e^{-\infty} = 0 \]
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{-x(2x^2)} = e^{-\infty} = 0 \]

Por lo tanto, la función tiene asíntotas horizontales en \( y = 0 \) para \( x \to \infty \) y \( x \to -\infty \).

---

### Resumen

- **Dominio:** \( \mathbb{R} \)
- **Rango:** \( (0, 1] \)
- **Puntos Críticos:** \( x = 0 \)
- **Intervalos de Disminución:** \( (-\infty, 0) \) y \( (0, \infty) \)
- **Puntos de Inflexión:** \( x = 0 \) y \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \)
- **Asíntotas Horizontales:** \( y = 0 \)

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relativas

1. ¿Cómo se determina el comportamiento de una función en sus extremos?
2. ¿Qué es la concavidad y cómo se relaciona con la segunda derivada?
3. ¿Qué métodos existen para encontrar los puntos críticos de una función?
4. ¿Cómo afecta la presencia de un punto de inflexión a la gráfica de una función?
5. ¿Qué importancia tiene el rango de una función en su análisis?

### Tip
La segunda derivada de una función te ayuda a determinar la concavidad y los puntos de inflexión, los cuales son cruciales para entender la forma de la gráfica de la función.

Explore the complete analysis of the function f(x) = e^{-x(2x^2)}, covering concepts such as the domain, range, critical points, intervals of increase and decrease, concavity, and asymptotic behavior. This solution uses the first and second derivative tests, making it suitable for undergraduate calculus students.

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