Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (x2 􀀀 2x 􀀀 2) ex.
En détaillant les diférentes étapes, étudier les variations de f sur R.

Pour étudier les variations de la fonction \( f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x \) sur \( \mathbb{R} \), il faut :

1. **Calculer la dérivée de \( f \) ( \( f'(x) \) )** pour déterminer les variations de la fonction.
   
   La fonction est un produit de deux fonctions : \( u(x) = x^2 - 2x - 2 \) et \( v(x) = e^x \). On va utiliser la règle du produit :
   \[
   f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
   \]
   
   - \( u(x) = x^2 - 2x - 2 \) et donc \( u'(x) = 2x - 2 \),
   - \( v(x) = e^x \) et donc \( v'(x) = e^x \).

   Ainsi, on a :
   \[
   f'(x) = (2x - 2)e^x + (x^2 - 2x - 2)e^x
   \]
   Factorisons \( e^x \) :
   \[
   f'(x) = e^x \left( (2x - 2) + (x^2 - 2x - 2) \right)
   \]
   Simplifions l'expression entre parenthèses :
   \[
   f'(x) = e^x \left( x^2 + 2x - 4 \right)
   \]
   La dérivée de \( f \) est donc :
   \[
   f'(x) = e^x (x^2 + 2x - 4)
   \]
   
2. **Étudier le signe de \( f'(x) \)**.

   Comme \( e^x > 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), le signe de \( f'(x) \) dépend uniquement du signe du polynôme \( x^2 + 2x - 4 \).

   On résout l'équation \( x^2 + 2x - 4 = 0 \) pour trouver les points critiques :
   \[
   \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 4 + 16 = 20
   \]
   Les racines sont :
   \[
   x_1 = \frac{-2 - \sqrt{20}}{2} = -1 - \sqrt{5}, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{20}}{2} = -1 + \sqrt{5}
   \]

   Ces racines sont environ \( x_1 \approx -3.24 \) et \( x_2 \approx 1.24 \).

   Le signe de \( x^2 + 2x - 4 \) est celui d'un trinôme du second degré. Comme le coefficient dominant (\( x^2 \)) est positif, le polynôme est :
   - positif pour \( x \in ]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[ \),
   - négatif pour \( x \in ]x_1, x_2[ \).

3. **Dresser le tableau de variations de \( f(x) \)**.

   - Pour \( x \in ]-\infty, x_1[ \), \( f'(x) > 0 \) : la fonction est croissante.
   - Pour \( x \in ]x_1, x_2[ \), \( f'(x) < 0 \) : la fonction est décroissante.
   - Pour \( x \in ]x_2, +\infty[ \), \( f'(x) > 0 \) : la fonction est croissante.

   **Tableau de variations :**

   \[
   \begin{array}{c|ccc|c}
   x & -\infty & x_1 & x_2 & +\infty \\
   \hline
   f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\
   f(x) & \nearrow & \text{max} & \searrow & \text{min} & \nearrow
   \end{array}
   \]

   - La fonction a un maximum local en \( x = x_1 \) et un minimum local en \( x = x_2 \).

4. **Conclusion sur les variations de la fonction** :

   La fonction \( f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x \) est croissante sur \( ]-\infty, x_1[ \), décroissante sur \( ]x_1, x_2[ \), et croissante sur \( ]x_2, +\infty[ \). Elle atteint un maximum local en \( x_1 \approx -3.24 \) et un minimum local en \( x_2 \approx 1.24 \).

Souhaitez-vous des détails supplémentaires sur l’une des étapes ?

Voici 5 questions liées :
1. Comment détermine-t-on les maximums et minimums d'une fonction à partir de sa dérivée ?
2. Pourquoi le terme \( e^x \) n'affecte-t-il pas le signe de la dérivée ?
3. Comment factoriser un polynôme quadratique dans une dérivée ?
4. Quels autres critères pourrait-on utiliser pour analyser les variations de \( f(x) \) ?
5. Comment la courbe de \( f(x) \) se comporterait-elle à l'infini ?

**Astuce** : Lors de la dérivation d'un produit de fonctions, souvenez-vous toujours de la règle du produit pour éviter toute erreur dans les calculs !

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x. En détaillant les différentes étapes, étudier les variations de f sur R.

Explore the step-by-step process of studying the variations of the function f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^x over all real numbers. Learn how to calculate the derivative using the product rule and determine the critical points using the quadratic formula. Ideal for high school students in Grades 11-12.

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