Calcular la derivada de las siguientes funciones I) f(x)=x^x.   Ii) g(x)=x^ex

Para calcular las derivadas de las funciones dadas, utilizaremos algunas reglas avanzadas de derivación, como la regla del logaritmo y la regla del producto.

### 1. \( f(x) = x^x \)

Para derivar esta función, podemos reescribirla utilizando logaritmos:

\[
f(x) = x^x \quad \text{es equivalente a} \quad f(x) = e^{x \ln(x)}
\]

Ahora derivamos \( e^{x \ln(x)} \) utilizando la regla de la cadena:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{x \ln(x)} \right) = e^{x \ln(x)} \cdot \frac{d}{dx} (x \ln(x))
\]

Primero derivamos \( x \ln(x) \) usando la regla del producto:

\[
\frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) = \ln(x) + 1
\]

Por lo tanto:

\[
f'(x) = e^{x \ln(x)} \cdot (\ln(x) + 1)
\]

Y como \( e^{x \ln(x)} = x^x \), entonces la derivada final es:

\[
f'(x) = x^x (\ln(x) + 1)
\]

---

### 2. \( g(x) = x^{e^x} \)

Nuevamente, utilizamos logaritmos para derivar esta función:

\[
g(x) = x^{e^x} \quad \text{es equivalente a} \quad g(x) = e^{e^x \ln(x)}
\]

Derivamos \( e^{e^x \ln(x)} \) usando la regla de la cadena:

\[
g'(x) = e^{e^x \ln(x)} \cdot \frac{d}{dx} \left( e^x \ln(x) \right)
\]

Ahora derivamos \( e^x \ln(x) \) usando la regla del producto:

\[
\frac{d}{dx} \left( e^x \ln(x) \right) = e^x \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x}
\]

Por lo tanto, la derivada final es:

\[
g'(x) = e^{e^x \ln(x)} \cdot \left( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \right)
\]

Y como \( e^{e^x \ln(x)} = x^{e^x} \), entonces la derivada final es:

\[
g'(x) = x^{e^x} \left( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \right)
\]

---

### Resumen de las derivadas:

1. \( f'(x) = x^x (\ln(x) + 1) \)
2. \( g'(x) = x^{e^x} \left( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \right) \)

---

¿Te gustaría detalles adicionales sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en estas derivadas?
2. ¿Cómo derivar funciones de la forma \( x^n \) si \( n \) es variable?
3. ¿Qué otras funciones pueden beneficiarse del uso de logaritmos para derivar?
4. ¿Cómo cambia la derivada si el exponente es una función más compleja?
5. ¿Cómo simplificar expresiones después de derivarlas?

**Tip:** Las funciones con exponentes variables como \( x^x \) o \( x^{e^x} \) suelen requerir el uso de logaritmos para facilitar su derivación.

Calcular la derivada de las siguientes funciones I) f(x)=x^x. Ii) g(x)=x^ex

Descubre cómo derivar funciones complejas como f(x) = x^x y g(x) = x^{e^x} usando diferenciación logarítmica, la regla del producto y la regla de la cadena. Aprende con un paso a paso detallado adecuado para estudiantes avanzados de cálculo a nivel universitario.

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