Calcular la derivada de las siguientes funciones I) f(x)=x^x.   Ii) g(x)=x^ex

Para calcular las derivadas de las funciones que has dado, usaremos reglas de derivación como la regla del producto, la regla de la cadena y las propiedades logarítmicas cuando sea necesario.

### I) Derivada de \( f(x) = x^x \)

Para derivar \( f(x) = x^x \), lo primero que podemos hacer es reescribirla en una forma que sea más fácil de derivar, utilizando logaritmos.

1. Reescribimos la función:
   \[
   f(x) = x^x = e^{x \ln(x)}
   \]
   
2. Ahora derivamos esta expresión usando la regla de la cadena.

   \[
   \frac{d}{dx} \left( e^{x \ln(x)} \right) = e^{x \ln(x)} \cdot \frac{d}{dx}(x \ln(x))
   \]
   
3. Derivamos \( x \ln(x) \):
   \[
   \frac{d}{dx}(x \ln(x)) = \ln(x) + 1
   \]
   
4. Entonces, la derivada de \( f(x) \) es:
   \[
   f'(x) = e^{x \ln(x)} \cdot (\ln(x) + 1) = x^x (\ln(x) + 1)
   \]

### II) Derivada de \( g(x) = x^{e^x} \)

En este caso, también aplicaremos logaritmos y la regla de la cadena.

1. Reescribimos la función:
   \[
   g(x) = x^{e^x} = e^{e^x \ln(x)}
   \]

2. Derivamos esta expresión usando la regla de la cadena.

   \[
   \frac{d}{dx} \left( e^{e^x \ln(x)} \right) = e^{e^x \ln(x)} \cdot \frac{d}{dx}(e^x \ln(x))
   \]
   
3. Derivamos \( e^x \ln(x) \) aplicando la regla del producto:
   \[
   \frac{d}{dx}(e^x \ln(x)) = e^x \ln(x) + e^x \cdot \frac{1}{x}
   \]
   
4. Entonces, la derivada de \( g(x) \) es:
   \[
   g'(x) = e^{e^x \ln(x)} \cdot \left( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \right) = x^{e^x} \cdot \left( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \right)
   \]

---

### Resumen:
1. \( f'(x) = x^x (\ln(x) + 1) \)
2. \( g'(x) = x^{e^x} \left( e^x \ln(x) + \frac{e^x}{x} \right) \)

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla del producto en funciones exponenciales?
2. ¿Qué papel juegan los logaritmos al derivar funciones con potencias variables?
3. ¿Cómo se derivan funciones compuestas como \( e^{e^x \ln(x)} \)?
4. ¿Qué otras formas existen para derivar funciones que involucren \( x^x \)?
5. ¿Cómo afecta la regla de la cadena al derivar productos de funciones?

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