Determinar el volumen del sólido formado cuando la región con pendiente la curva ya igual a 1 + 2x - x cuadrado y la recta ya igual a x-1, gira alrededor de la recta y = -2.

Para determinar el volumen del sólido formado cuando la región limitada por la curva \( y = 1 + 2x - x^2 \) y la recta \( y = x - 1 \) gira alrededor de la recta \( y = -2 \), podemos usar el método de discos o de anillos. En este caso, debido a que el eje de rotación está desplazado, es más apropiado usar el **método de anillos**.

### Paso 1: Encontrar los puntos de intersección
Primero, determinamos los puntos donde la curva \( y = 1 + 2x - x^2 \) y la recta \( y = x - 1 \) se cruzan. Para esto, igualamos ambas ecuaciones:

\[
1 + 2x - x^2 = x - 1
\]

Reorganizando:

\[
x^2 - x - 2 = 0
\]

Factorizando la ecuación cuadrática:

\[
(x - 2)(x + 1) = 0
\]

De aquí, obtenemos \( x = 2 \) y \( x = -1 \). Entonces, los límites de integración serán desde \( x = -1 \) hasta \( x = 2 \).

### Paso 2: Distancias de las funciones al eje de rotación
El eje de rotación es \( y = -2 \). Por lo tanto, las distancias desde la curva y la recta hasta el eje de rotación serán:

- Para la curva \( y = 1 + 2x - x^2 \), la distancia es \( d_1(x) = (1 + 2x - x^2) - (-2) = 3 + 2x - x^2 \).
- Para la recta \( y = x - 1 \), la distancia es \( d_2(x) = (x - 1) - (-2) = x + 1 \).

### Paso 3: Fórmula del volumen usando el método de anillos
La fórmula del volumen usando el método de anillos es:

\[
V = \pi \int_{a}^{b} \left[ R_{\text{exterior}}(x)^2 - R_{\text{interior}}(x)^2 \right] \, dx
\]

Donde \( R_{\text{exterior}}(x) \) es la distancia desde la curva al eje de rotación, y \( R_{\text{interior}}(x) \) es la distancia desde la recta al eje de rotación.

\[
V = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (3 + 2x - x^2)^2 - (x + 1)^2 \right] \, dx
\]

### Paso 4: Expandir y simplificar las expresiones

Primero expandimos \( (3 + 2x - x^2)^2 \) y \( (x + 1)^2 \):

- \( (3 + 2x - x^2)^2 = 9 + 12x - 6x^2 + 4x^2 - 4x^3 + x^4 = x^4 - 4x^3 + 10x^2 + 12x + 9 \)
- \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)

Sustituyendo estas expresiones en la integral:

\[
V = \pi \int_{-1}^{2} \left[ (x^4 - 4x^3 + 10x^2 + 12x + 9) - (x^2 + 2x + 1) \right] \, dx
\]

Simplificamos:

\[
V = \pi \int_{-1}^{2} \left( x^4 - 4x^3 + 9x^2 + 10x + 8 \right) \, dx
\]

### Paso 5: Resolver la integral

Ahora, integramos término a término:

\[
V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{4x^4}{4} + \frac{9x^3}{3} + \frac{10x^2}{2} + 8x \right]_{-1}^{2}
\]

Evaluamos en \( x = 2 \) y \( x = -1 \):

1. Para \( x = 2 \):

\[
\frac{2^5}{5} - 2^4 + 3(2^3) + 5(2^2) + 8(2) = \frac{32}{5} - 16 + 24 + 20 + 16 = \frac{96}{5}
\]

2. Para \( x = -1 \):

\[
\frac{(-1)^5}{5} - (-1)^4 + 3(-1)^3 + 5(-1)^2 + 8(-1) = -\frac{1}{5} - 1 - 3 + 5 - 8 = -\frac{32}{5}
\]

Finalmente:

\[
V = \pi \left( \frac{96}{5} - \left( -\frac{32}{5} \right) \right) = \pi \left( \frac{96 + 32}{5} \right) = \pi \cdot \frac{128}{5}
\]

Por lo tanto, el volumen es:

\[
V = \frac{128\pi}{5}
\]

### Respuesta final:
El volumen del sólido es \( \frac{128\pi}{5} \) unidades cúbicas.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se aplica el método de discos en otros problemas de rotación?
2. ¿Qué sucede si cambiamos el eje de rotación a otra posición?
3. ¿Cómo se resuelven volúmenes cuando la curva se rota alrededor del eje \( y \)?
4. ¿Cómo afecta la forma de la curva al volumen generado?
5. ¿Qué métodos alternativos existen para calcular volúmenes de sólidos de revolución?

**Tip**: Cuando trabajes con integrales de volúmenes de revolución, asegúrate de tener claro el eje de rotación y las distancias entre las funciones y el eje. Esto cambia la forma de calcular el volumen.

Resuelve el problema de cálculo del volumen de un sólido formado por la rotación de la curva y = 1 + 2x - x^2 y la recta y = x - 1 alrededor de la recta y = -2. El problema utiliza el método de anillos e incluye conceptos de cálculo integral y ecuaciones cuadráticas. Adecuado para estudiantes de nivel preuniversitario.

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