una particula con una carga de 40 nc esta colocada en una cubierta esfera con un radio interior de 25 cm y un radio exterior de 30cm, la cubierta esfera tiene una carga con una densidad de 1.5mc/mala3, un electron se mueve en una orbita circular en el interior de la cubierta, calcular la velocidad del electron

Para resolver el problema, primero vamos a desglosar los elementos involucrados:

1. La partícula cargada tiene una carga de \( q_p = 40 \, \text{nC} = 40 \times 10^{-9} \, \text{C} \).
2. La cubierta esférica tiene un radio interior de \( r_{\text{int}} = 25 \, \text{cm} = 0.25 \, \text{m} \) y un radio exterior de \( r_{\text{ext}} = 30 \, \text{cm} = 0.30 \, \text{m} \).
3. La densidad volumétrica de carga de la cubierta es \( \rho = 1.5 \, \mu\text{C/m}^3 = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^3 \).
4. Un electrón está orbitando en una trayectoria circular dentro de la cubierta, y necesitamos calcular su velocidad.

### Pasos para la solución:

#### 1. **Campo eléctrico en la región interna:**

Para resolver este problema, utilizamos la ley de Gauss. La cubierta esférica tiene una densidad volumétrica de carga, pero el electrón se encuentra dentro de la región vacía (entre el centro de la esfera y el radio interior de la cubierta). Entonces, para un punto dentro de una esfera cargada (si las cargas se distribuyen en la cubierta), el campo eléctrico debido a la carga en la cubierta es \( \mathbf{E} = 0 \) en cualquier punto dentro del radio interior.

Por lo tanto, la única carga que genera un campo eléctrico en la región interna es la partícula cargada en el centro de la esfera.

El campo eléctrico a una distancia \( r \) de una carga puntual \( q \) está dado por la ley de Coulomb:

\[
E = \frac{k \cdot q_p}{r^2}
\]

donde:
- \( k \) es la constante de Coulomb \( (k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \),
- \( q_p \) es la carga de la partícula en el centro,
- \( r \) es la distancia desde el centro de la esfera hasta el electrón.

#### 2. **Fuerza eléctrica sobre el electrón:**

La fuerza que actúa sobre el electrón debido al campo eléctrico es:

\[
F = e \cdot E
\]

donde:
- \( e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \) es la carga del electrón.

#### 3. **Movimiento circular del electrón:**

Dado que el electrón está en una órbita circular, la fuerza eléctrica que actúa sobre él es la fuerza centrípeta que mantiene su trayectoria circular. La fuerza centrípeta es:

\[
F_{\text{centrípeta}} = \frac{m_e \cdot v^2}{r}
\]

donde:
- \( m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \) es la masa del electrón,
- \( v \) es la velocidad del electrón,
- \( r \) es el radio de la órbita.

#### 4. **Igualando fuerzas:**

La fuerza eléctrica debe ser igual a la fuerza centrípeta, por lo que tenemos:

\[
e \cdot \frac{k \cdot q_p}{r^2} = \frac{m_e \cdot v^2}{r}
\]

Simplificando para \( v \):

\[
v = \sqrt{\frac{e \cdot k \cdot q_p}{m_e \cdot r}}
\]

#### 5. **Sustituyendo valores:**

Ahora sustituimos los valores conocidos:
- \( e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \),
- \( k = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2 \),
- \( q_p = 40 \times 10^{-9} \, \text{C} \),
- \( m_e = 9.11 \times 10^{-31} \, \text{kg} \),
- \( r = 0.25 \, \text{m} \) (la distancia desde el centro hasta el electrón).

Vamos a calcular la velocidad del electrón.

#### Cálculo numérico:La velocidad del electrón en su órbita circular dentro de la cubierta esférica es aproximadamente \( v = 1.59 \times 10^7 \, \text{m/s} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Cómo afecta la distancia \( r \) a la velocidad del electrón?
2. ¿Qué sucede si la carga en el centro de la esfera es negativa en lugar de positiva?
3. ¿Cómo cambiaría el resultado si la densidad de carga de la cubierta no fuera uniforme?
4. ¿Cuál es el campo eléctrico dentro de la cubierta esférica pero fuera de la región interna?
5. ¿Cómo afecta la masa del electrón a su velocidad en esta órbita?

**Tip:** La ley de Gauss es especialmente útil cuando tratamos con simetría esférica, ya que simplifica mucho el cálculo del campo eléctrico.

Una partícula con una carga de 40 nC está colocada en una cubierta esférica con un radio interior de 25 cm y un radio exterior de 30 cm. La cubierta esférica tiene una carga con una densidad de 1.5 µC/m³. Un electrón se mueve en una órbita circular en el interior de la cubierta. Calcular la velocidad del electrón.

Resuelve el problema de calcular la velocidad de un electrón que orbita dentro de una cubierta esférica con carga. Utiliza la ley de Coulomb, la ley de Gauss y el concepto de fuerza centrípeta. La partícula en el centro tiene una carga de 40 nC, y la cubierta tiene una densidad de carga de 1.5 µC/m³. Se ofrece un paso a paso detallado.

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