resolver Un objeto se mueve en línea recta siguiendo la función de posición dada por:
𝑠(𝑡)=5𝑡3−2𝑡2+3𝑡+10
Donde:
• 𝑠(𝑡) representa la posición en metros
• 𝑡 el tiempo en segundos.
Calcula:
a) La velocidad del objeto en el instante 𝑡=2.
b) La aceleración del objeto en el instante 𝑡=2.

Para resolver este problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

### a) Velocidad en el instante \( t = 2 \)

La velocidad del objeto es la derivada de la función de posición con respecto al tiempo, es decir, \( v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \).

Dada la función de posición:

\[
s(t) = 5t^3 - 2t^2 + 3t + 10
\]

Derivamos esta función respecto de \( t \):

\[
v(t) = \frac{d}{dt} \left( 5t^3 - 2t^2 + 3t + 10 \right) = 15t^2 - 4t + 3
\]

Ahora, evaluamos la velocidad en \( t = 2 \):

\[
v(2) = 15(2)^2 - 4(2) + 3 = 15(4) - 8 + 3 = 60 - 8 + 3 = 55 \, \text{m/s}
\]

### b) Aceleración en el instante \( t = 2 \)

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, \( a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \), o también, es la segunda derivada de la posición.

Ya sabemos que la velocidad es:

\[
v(t) = 15t^2 - 4t + 3
\]

Derivamos esta función para encontrar la aceleración:

\[
a(t) = \frac{d}{dt} \left( 15t^2 - 4t + 3 \right) = 30t - 4
\]

Ahora evaluamos la aceleración en \( t = 2 \):

\[
a(2) = 30(2) - 4 = 60 - 4 = 56 \, \text{m/s}^2
\]

### Resumen:

- **Velocidad en \( t = 2 \):** \( 55 \, \text{m/s} \)
- **Aceleración en \( t = 2 \):** \( 56 \, \text{m/s}^2 \)

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que podrías explorar:
1. ¿Cómo se interpretan físicamente la velocidad y la aceleración en este contexto?
2. ¿Cómo cambiarían la velocidad y aceleración en un instante diferente?
3. ¿Cómo se determina si el objeto está acelerando o desacelerando?
4. ¿Cómo se relaciona el signo de la aceleración con la dirección del movimiento?
5. ¿Cuál sería la posición del objeto en \( t = 2 \)?

**Tip:** La derivada de una función siempre te da información sobre la tasa de cambio en cada instante.

Un objeto se mueve en línea recta siguiendo la función de posición dada por: s(t) = 5t^3 − 2t^2 + 3t + 10. Calcula: a) La velocidad del objeto en el instante t = 2. b) La aceleración del objeto en el instante t = 2.

Resuelve cómo calcular la velocidad y aceleración de un objeto en movimiento rectilíneo a partir de la función de posición s(t) = 5t^3 − 2t^2 + 3t + 10. Aprende a derivar la función de posición y aplicar el cálculo diferencial para encontrar la velocidad y aceleración en t = 2. Apto para estudiantes de cálculo.

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