Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su posición en el instante  t,f(t)
.  Parte con una velocidad inicialf′(0)=0
, tiene una aceleración continua f′′(t)≥6
  para todo t
  en el intervalo 0≤t≤1
.   Demostrar que la velocidad es f′(t)≥3
 para todo  t
 en un cierto intervalo [a,b]
, donde0≤a≤b≤1
, siendo b−a=12
 .

Para demostrar que la velocidad \( f'(t) \geq 3 \) para todo \( t \) en un cierto intervalo \( [a,b] \), con \( 0 \leq a \leq b \leq 1 \) y \( b - a = \frac{1}{2} \), vamos a proceder con los siguientes pasos, apoyándonos en las condiciones dadas sobre la posición, velocidad y aceleración de la partícula:

### 1. Condiciones iniciales
Se nos da que:

- \( f'(0) = 0 \) (la velocidad inicial es 0),
- \( f''(t) \geq 6 \) para todo \( t \in [0,1] \) (la aceleración es siempre mayor o igual que 6).

### 2. Relación entre aceleración y velocidad
Dado que \( f''(t) \geq 6 \), podemos integrar esta desigualdad para obtener información sobre la velocidad \( f'(t) \).

\[
f''(t) \geq 6 \implies \int_0^t f''(s) \, ds \geq \int_0^t 6 \, ds
\]
Esto nos da:

\[
f'(t) - f'(0) \geq 6t
\]
Dado que \( f'(0) = 0 \), esto se simplifica a:

\[
f'(t) \geq 6t
\]

Esto nos dice que la velocidad es siempre mayor o igual que \( 6t \) en el intervalo \( [0,1] \).

### 3. Encontrar el intervalo \( [a,b] \) con \( f'(t) \geq 3 \)
Queremos encontrar un intervalo \( [a,b] \) tal que \( f'(t) \geq 3 \) para todo \( t \in [a,b] \), donde \( b - a = \frac{1}{2} \).

Sabemos que \( f'(t) \geq 6t \), entonces imponemos la condición \( 6t \geq 3 \) para determinar cuándo la velocidad es al menos 3:

\[
6t \geq 3 \implies t \geq \frac{1}{2}
\]

Esto nos dice que para todo \( t \geq \frac{1}{2} \), la velocidad será al menos 3.

### 4. Definir el intervalo \( [a,b] \)
Queremos un intervalo \( [a,b] \) con \( b - a = \frac{1}{2} \). Sabemos que \( t = \frac{1}{2} \) es el punto a partir del cual la velocidad es mayor o igual a 3. Entonces podemos elegir el intervalo \( [a,b] \) como sigue:

- \( a = \frac{1}{2} \),
- \( b = 1 \).

Este intervalo cumple que:

- \( f'(t) \geq 3 \) para todo \( t \in [\frac{1}{2}, 1] \),
- \( b - a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

### Conclusión
Hemos demostrado que la velocidad \( f'(t) \geq 3 \) para todo \( t \in [\frac{1}{2}, 1] \), que es un intervalo con longitud \( b - a = \frac{1}{2} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo afecta una aceleración constante mayor que un valor mínimo a la velocidad?
2. ¿Cómo se resuelven desigualdades que involucran derivadas y límites en el tiempo?
3. ¿Qué sucede si la aceleración es una función variable en lugar de una constante?
4. ¿Cómo podemos modificar este método si la velocidad inicial es diferente de cero?
5. ¿Qué interpretación física tiene un intervalo en el que la velocidad tiene un valor mínimo?

**Tip:** Cuando trabajes con derivadas, es útil integrar para obtener propiedades de las funciones originales como la velocidad o posición.

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su posición en el instante t, f(t). Parte con una velocidad inicial f'(0) = 0, tiene una aceleración continua f''(t) ≥ 6 para todo t en el intervalo 0 ≤ t ≤ 1. Demostrar que la velocidad es f'(t) ≥ 3 para todo t en un cierto intervalo [a,b], donde 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, siendo b - a = 1/2.

Aprende a demostrar que la velocidad f'(t) ≥ 3 en el intervalo [1/2, 1], dado que la aceleración continua f''(t) es mayor o igual a 6 y la velocidad inicial es 0. Este problema de cálculo involucra derivadas, integrales y el teorema fundamental del cálculo, adecuado para estudiantes de grados 10-12.

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