Una particula se mueve a lo largo de una linea recta de acuerdo a la ecuación: x (t) =4t elevado a la 3-6t elevado a la 2+2t donde: x es la posición en metros y t es el tiempo en segundos. ?cual es la acelaración de la particula en el momento t=1 segundo?

Para encontrar la aceleración de la partícula en el momento \( t = 1 \) segundo, necesitamos seguir estos pasos:

1. Derivar la función de posición \( x(t) \) para obtener la velocidad \( v(t) \).
2. Derivar la función de velocidad \( v(t) \) para obtener la aceleración \( a(t) \).
3. Evaluar la función de aceleración \( a(t) \) en \( t = 1 \).

### Paso 1: Función de posición

La ecuación de la posición de la partícula es:

\[
x(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t
\]

### Paso 2: Encontrar la velocidad \( v(t) \)

La velocidad es la primera derivada de la posición respecto al tiempo, es decir, \( v(t) = x'(t) \).

Calculamos la derivada de \( x(t) \):

\[
v(t) = \frac{d}{dt} (4t^3 - 6t^2 + 2t)
\]

Aplicamos la regla de la potencia a cada término:

1. Derivada de \( 4t^3 \):
   \[
   \frac{d}{dt}(4t^3) = 12t^2
   \]

2. Derivada de \( -6t^2 \):
   \[
   \frac{d}{dt}(-6t^2) = -12t
   \]

3. Derivada de \( 2t \):
   \[
   \frac{d}{dt}(2t) = 2
   \]

Por lo tanto, la velocidad es:

\[
v(t) = 12t^2 - 12t + 2
\]

### Paso 3: Encontrar la aceleración \( a(t) \)

La aceleración es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo, es decir, la derivada de la velocidad \( v(t) \):

\[
a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(12t^2 - 12t + 2)
\]

Aplicamos la regla de la potencia nuevamente:

1. Derivada de \( 12t^2 \):
   \[
   \frac{d}{dt}(12t^2) = 24t
   \]

2. Derivada de \( -12t \):
   \[
   \frac{d}{dt}(-12t) = -12
   \]

3. Derivada de \( 2 \) (constante):
   \[
   \frac{d}{dt}(2) = 0
   \]

Por lo tanto, la aceleración es:

\[
a(t) = 24t - 12
\]

### Paso 4: Evaluar la aceleración en \( t = 1 \)

Sustituimos \( t = 1 \) en la ecuación de la aceleración:

\[
a(1) = 24(1) - 12
\]

\[
a(1) = 24 - 12
\]

\[
a(1) = 12 \, \text{m/s}^2
\]

### Respuesta final

La aceleración de la partícula en el momento \( t = 1 \) segundo es:

\[
a(1) = 12 \, \text{m/s}^2
\]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo interpretar el valor de la aceleración en el contexto del movimiento?
2. ¿Qué sucede con la aceleración para valores de tiempo mayores?
3. ¿Cómo encontrar los puntos donde la aceleración es cero?
4. ¿Qué información proporciona la tercera derivada de la posición?
5. ¿Cómo se relacionan las gráficas de posición, velocidad y aceleración?

**Tip:** La aceleración te dice cómo cambia la velocidad con el tiempo. Una aceleración positiva indica que la velocidad está aumentando en esa dirección.

Una particula se mueve a lo largo de una linea recta de acuerdo a la ecuación: x(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t donde: x es la posición en metros y t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la aceleración de la partícula en el momento t = 1 segundo?

Aprende a encontrar la aceleración de una partícula usando derivadas. Dada la ecuación de posición x(t) = 4t^3 - 6t^2 + 2t, este ejemplo cubre los conceptos de velocidad y aceleración en el cálculo. Adecuado para estudiantes de cálculo de nivel 11-12.

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