La utilidad marginal en una tienda electrodomésticos, que vende equipos de sonido está dada por la función U´(x) = x3 . ln(x). Determine La utilidad total por la venta 15 equipos si C = 300000. 

Para resolver este problema, necesitamos determinar la utilidad total \( U(x) \) al vender 15 equipos, dado que la utilidad marginal está dada por la función:

\[
U'(x) = x^3 \cdot \ln(x)
\]

y que la constante \( C = 300000 \) representa una constante de integración. 

### Paso 1: Encontrar la utilidad total \( U(x) \)

La utilidad total \( U(x) \) es la integral de la utilidad marginal \( U'(x) \):

\[
U(x) = \int U'(x) \, dx = \int x^3 \ln(x) \, dx
\]

### Paso 2: Calcular la integral

Para calcular la integral \( \int x^3 \ln(x) \, dx \), utilizaremos el método de **integración por partes**, que está dado por:

\[
\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du
\]

Aquí, seleccionamos:

\[
u = \ln(x), \quad dv = x^3 \, dx
\]

Calculamos \( du \) y \( v \):

\[
du = \frac{1}{x} \, dx, \quad v = \frac{x^4}{4}
\]

Aplicando la fórmula de integración por partes:

\[
\int x^3 \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx
\]

Simplificamos:

\[
= \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 \, dx
\]

\[
= \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{1}{4} \left( \frac{x^4}{4} \right)
\]

\[
= \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{x^4}{16}
\]

Por lo tanto, la función de utilidad total \( U(x) \) es:

\[
U(x) = \frac{x^4 \ln(x)}{4} - \frac{x^4}{16} + C
\]

### Paso 3: Evaluar la utilidad total para 15 equipos

Ahora evaluamos la utilidad total por la venta de 15 equipos, es decir, para \( x = 15 \):

\[
U(15) = \frac{15^4 \ln(15)}{4} - \frac{15^4}{16} + 300000
\]

Calculemos cada término:

1. \( 15^4 = 50625 \)
2. \( \ln(15) \approx 2.708 \)

Sustituyendo estos valores:

\[
U(15) = \frac{50625 \times 2.708}{4} - \frac{50625}{16} + 300000
\]

\[
U(15) = \frac{137190.5}{4} - 3164.06 + 300000
\]

\[
U(15) = 34297.625 - 3164.06 + 300000
\]

\[
U(15) = 31133.565 + 300000
\]

\[
U(15) \approx 331133.565
\]

### Respuesta

La utilidad total por la venta de 15 equipos es aproximadamente **331,134** unidades monetarias.

¿Te gustaría más detalles sobre el proceso o tienes alguna pregunta adicional?

---

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es la utilidad marginal y cómo se relaciona con la utilidad total?
2. ¿Cómo se realiza la integración por partes en el cálculo de integrales?
3. ¿Cuándo es útil la integración por partes en problemas de economía?
4. ¿Cómo afecta el cambio en la constante de integración \( C \) en la utilidad total?
5. ¿Qué otros métodos de integración pueden ser útiles en problemas económicos?

### Tip:

Cuando trabajes con problemas de utilidad marginal y total, asegúrate de comprender completamente el concepto de derivadas e integrales, ya que son fundamentales para interpretar cambios en funciones económicas.

La utilidad marginal en una tienda electrodomésticos, que vende equipos de sonido está dada por la función U´(x) = x^3 . ln(x). Determine La utilidad total por la venta 15 equipos si C = 300000.

Descubre cómo calcular la utilidad total para la venta de 15 equipos de sonido, con una utilidad marginal dada por U'(x) = x^3 ln(x) y una constante de integración de 300,000. Incluye una explicación detallada del método de integración por partes.

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