Los vértices de un triángulo son los puntos A(-2,8);\,B(2,-3) y C(5,3). Si D es el punto medio del lado \overline{AB}, calcular la longitud de la mediana \overline{DC}.

Pregunta 1Respuesta

a.
\overline{DC}=\frac{\sqrt{98}}{4}

b.
\overline{DC}=\frac{\sqrt{101}}{4}

c.
\overline{DC}=\frac{\sqrt{100}}{2}

d.
\overline{DC}=\frac{\sqrt{101}}{2}

Para calcular la longitud de la mediana \( \overline{DC} \), primero encontramos el punto medio \( D \) del lado \( \overline{AB} \), y luego la distancia entre \( D \) y \( C \).

### Paso 1: Hallar el punto medio \( D \) del segmento \( \overline{AB} \)
Sabemos que las coordenadas del punto medio \( D \) entre dos puntos \( A(x_1, y_1) \) y \( B(x_2, y_2) \) se calculan como:

\[
D = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]

Usando los puntos \( A(-2, 8) \) y \( B(2, -3) \), tenemos:

\[
D = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{8 + (-3)}{2} \right) = (0, 2.5)
\]

### Paso 2: Hallar la distancia entre \( D(0, 2.5) \) y \( C(5, 3) \)
La distancia entre dos puntos \( D(x_1, y_1) \) y \( C(x_2, y_2) \) se calcula con la fórmula de la distancia:

\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

Sustituyendo \( D(0, 2.5) \) y \( C(5, 3) \):

\[
d = \sqrt{(5 - 0)^2 + (3 - 2.5)^2} = \sqrt{5^2 + 0.5^2} = \sqrt{25 + 0.25} = \sqrt{25.25}
\]

### Paso 3: Simplificar la expresión
\[
d = \frac{\sqrt{101}}{2}
\]

Por lo tanto, la longitud de la mediana \( \overline{DC} \) es \( \frac{\sqrt{101}}{2} \).

### Respuesta correcta:
\[
\boxed{d. \, \overline{DC} = \frac{\sqrt{101}}{2}}
\]

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### Tip: Las tres medianas de un triángulo se intersecan en un punto llamado **centroide**, que divide cada mediana en una proporción de 2:1.

Los vértices de un triángulo son los puntos A(-2,8); B(2,-3) y C(5,3). Si D es el punto medio del lado \overline{AB}, calcular la longitud de la mediana \overline{DC}.

Aprende a calcular la longitud de la mediana \overline{DC} de un triángulo con vértices A(-2,8), B(2,-3) y C(5,3), utilizando las fórmulas del punto medio y la distancia. Ejercicio adecuado para estudiantes de secundaria (Grados 9-12).

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