PREGUNTA 01:
El patio de Cibertec tiene la forma de un rectángulo de vértices: A (-1,3), B (5,0), C (7,4), D (1,7). Determine: 
a)	El perímetro del patio de Cibertec. 
b)	El baricentro del triángulo formado por los vértices ABC.
c)	El área del triángulo ABC.



Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.

### a) Perímetro del patio de Cibertec

El patio tiene forma de rectángulo, por lo que debemos calcular la distancia entre los vértices consecutivos y luego sumar todas esas distancias para obtener el perímetro.

Los vértices dados son:
- \( A(-1, 3) \)
- \( B(5, 0) \)
- \( C(7, 4) \)
- \( D(1, 7) \)

Primero, calculamos las distancias entre los vértices:

1. **Distancia entre \( A \) y \( B \)**:
   \[
   AB = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
   \]

2. **Distancia entre \( B \) y \( C \)**:
   \[
   BC = \sqrt{(7 - 5)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
   \]

3. **Distancia entre \( C \) y \( D \)**:
   \[
   CD = \sqrt{(7 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
   \]

4. **Distancia entre \( D \) y \( A \)**:
   \[
   DA = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
   \]

Sumamos estas distancias para encontrar el perímetro:

\[
\text{Perímetro} = AB + BC + CD + DA = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 10\sqrt{5}
\]

### b) Baricentro del triángulo formado por los vértices \( A \), \( B \), \( C \)

El baricentro de un triángulo se calcula como el promedio de las coordenadas de los vértices.

\[
G_x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{-1 + 5 + 7}{3} = \frac{11}{3}
\]
\[
G_y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{3 + 0 + 4}{3} = \frac{7}{3}
\]

Por lo tanto, el baricentro \( G \) es:

\[
G\left(\frac{11}{3}, \frac{7}{3}\right)
\]

### c) Área del triángulo \( ABC \)

El área de un triángulo formado por tres puntos \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), y \( C(x_3, y_3) \) en el plano se puede calcular usando la siguiente fórmula:

\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]

Sustituyendo los valores:

\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| (-1)(0 - 4) + 5(4 - 3) + 7(3 - 0) \right|
\]

\[
= \frac{1}{2} \left| (-1)(-4) + 5(1) + 7(3) \right|
\]

\[
= \frac{1}{2} \left| 4 + 5 + 21 \right| = \frac{1}{2} \times 30 = 15
\]

Por lo tanto, el área del triángulo \( ABC \) es 15 unidades cuadradas.

---

¿Te gustaría que detalle alguno de los pasos o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relativas:**

1. ¿Cómo se calcularía el área si el triángulo estuviera en un espacio tridimensional?
2. ¿Qué significaría si el área del triángulo resultara ser 0?
3. ¿Cómo se podría verificar si los puntos forman realmente un rectángulo?
4. ¿Cómo se calcula el perímetro si los vértices no forman un cuadrilátero simple?
5. ¿Qué importancia tiene el baricentro en aplicaciones prácticas de geometría?

**Tip:** El baricentro también es conocido como el centro de gravedad de un triángulo y tiene propiedades interesantes en física y geometría analítica.

Aprende cómo calcular el perímetro de un rectángulo dado por los vértices A (-1, 3), B (5, 0), C (7, 4), D (1, 7), el baricentro del triángulo formado por los vértices ABC y el área del triángulo ABC. Incluye fórmulas y ejemplos paso a paso.

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