resuleva la ecuacion diferencial y(in x- in y)dx = (x in x-x in y-y)dy

La ecuación diferencial dada es:

\[
y(\ln{x} - \ln{y}) \, dx = (x \ln{x} - x \ln{y} - y) \, dy
\]

El primer paso es intentar simplificar la ecuación y reorganizar los términos para facilitar la resolución.

### Paso 1: Reescribir la ecuación
Primero, simplificamos la ecuación de la forma estándar. Expandiendo ambos lados:

\[
y (\ln{x} - \ln{y}) \, dx = (x \ln{x} - x \ln{y} - y) \, dy
\]

### Paso 2: Método de variables separables o sustituciones
La ecuación no parece ser fácilmente separable en su forma actual. Podemos probar con una sustitución adecuada o intentar identificar si la ecuación es exacta o puede resolverse con algún otro método estándar (como Bernoulli, homogénea, o lineal).

### Paso 3: Verificación de la exactitud de la ecuación
Para verificar si la ecuación es exacta, necesitamos escribirla en la forma estándar:

\[
M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0
\]

Donde:
- \( M(x, y) = y (\ln{x} - \ln{y}) \)
- \( N(x, y) = -(x \ln{x} - x \ln{y} - y) \)

Verificamos si la ecuación es exacta calculando las derivadas parciales:

\[
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( y (\ln{x} - \ln{y}) \right)
\]
\[
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -(x \ln{x} - x \ln{y} - y) \right)
\]

Si estas derivadas coinciden, la ecuación será exacta. 

### Paso 4: Resolver (si es exacta)
Si la ecuación es exacta, el siguiente paso sería encontrar una función \( \psi(x, y) \) tal que:

\[
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x, y) \quad \text{y} \quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x, y)
\]

Integrando cada término, podemos obtener la solución general.

---

¿Te gustaría que desarrolle los pasos de la verificación de la exactitud y la solución completa? 

Aquí hay 5 preguntas relacionadas para profundizar más:

1. ¿Cómo se identifica si una ecuación diferencial es exacta?
2. ¿Qué son las ecuaciones diferenciales homogéneas y cómo se resuelven?
3. ¿Qué métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales no exactas?
4. ¿Qué significa la condición de separabilidad en ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo afectan los logaritmos en la resolución de ecuaciones diferenciales?

**Tip**: Cuando una ecuación diferencial no parece fácilmente resoluble, revisar su exactitud es un enfoque útil.

Learn how to solve the exact differential equation y(ln{x} - ln{y}) dx = (x ln{x} - x ln{y} - y) dy using the method of exact equations. This detailed solution covers partial derivatives and logarithmic functions, suitable for undergraduate students.

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