. Una foto tiene una superficie rectangular impresa de 5 cent´ımetros por 12 cent´ımetros y un
borde de espesor uniforme sin impresi´on. El ´area de la foto incluyendo el borde es el doble del
´area de la superficie impresa. ¿Cual es el espesor del borde de la foto?

Vamos a resolver el problema paso a paso.

### 1. Definición de variables:
- El área de la superficie impresa (rectángulo) es de \( 5 \, \text{cm} \times 12 \, \text{cm} = 60 \, \text{cm}^2 \).
- El área total de la foto incluyendo el borde es el doble del área de la superficie impresa, es decir, \( 2 \times 60 = 120 \, \text{cm}^2 \).
- Sea \( x \) el espesor del borde en centímetros. Esto implica que las dimensiones totales del rectángulo incluyendo el borde son:
  - Ancho total: \( 5 + 2x \)
  - Largo total: \( 12 + 2x \)

### 2. Planteo de la ecuación:
El área total de la foto, que incluye la superficie impresa y el borde, es el área de un rectángulo con dimensiones \( 5 + 2x \) y \( 12 + 2x \). El área total debe ser igual a \( 120 \, \text{cm}^2 \):

\[
(5 + 2x)(12 + 2x) = 120
\]

### 3. Resolviendo la ecuación:
Expandimos el producto:

\[
(5 + 2x)(12 + 2x) = 60 + 10x + 24x + 4x^2 = 60 + 34x + 4x^2
\]

Igualamos a 120:

\[
4x^2 + 34x + 60 = 120
\]

Restamos 120 a ambos lados:

\[
4x^2 + 34x - 60 = 0
\]

### 4. Resolviendo la ecuación cuadrática:
Dividimos todo entre 2 para simplificar:

\[
2x^2 + 17x - 30 = 0
\]

Ahora usamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \( a = 2 \), \( b = 17 \) y \( c = -30 \). Calculamos el discriminante:

\[
\Delta = 17^2 - 4(2)(-30) = 289 + 240 = 529
\]

\[
x = \frac{-17 \pm \sqrt{529}}{2(2)} = \frac{-17 \pm 23}{4}
\]

Esto nos da dos soluciones:

\[
x_1 = \frac{-17 + 23}{4} = \frac{6}{4} = 1.5
\]

\[
x_2 = \frac{-17 - 23}{4} = \frac{-40}{4} = -10
\]

Como el espesor del borde no puede ser negativo, descartamos \( x_2 = -10 \).

### 5. Respuesta:
El espesor del borde es \( x = 1.5 \, \text{cm} \).

¿Te gustaría detalles adicionales o alguna aclaración?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática usando la fórmula general?
2. ¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?
3. ¿Qué pasa si cambiamos las dimensiones de la superficie impresa?
4. ¿Cómo podemos verificar si el espesor encontrado es correcto?
5. ¿Cómo afecta el valor del borde al área total de la foto?

### Tip:
Siempre verifica que las unidades sean consistentes al resolver problemas geométricos.

Una foto tiene una superficie rectangular impresa de 5 centímetros por 12 centímetros y un borde de espesor uniforme sin impresión. El área de la foto incluyendo el borde es el doble del área de la superficie impresa. ¿Cuál es el espesor del borde de la foto?

Resuelve un problema geométrico donde el área de una foto con borde es el doble de la superficie impresa. Aprende a usar ecuaciones cuadráticas y álgebra para calcular el espesor del borde. Este ejercicio es adecuado para estudiantes de los grados 8-10.

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