Analice mediante las propiedades del producto vectorial sual es el valar del area del 
paralelogramo cuyos vértices son 8/3,1,6): Q/2,1,4) y P(1,3,-3

Para encontrar el área del paralelogramo cuyos vértices son \( A(8/3, 1, 6) \), \( Q(2, 1, 4) \) y \( P(1, 3, -3) \), podemos usar el producto vectorial, ya que el área de un paralelogramo formado por dos vectores se calcula como el módulo del producto vectorial de esos dos vectores.

### Pasos:

1. **Determinar los vectores** que definen los lados del paralelogramo a partir de los puntos dados.

   Los vértices dados son \( A \), \( Q \) y \( P \), por lo que podemos definir los siguientes vectores:

   \[
   \vec{AQ} = Q - A = (2 - \frac{8}{3}, 1 - 1, 4 - 6)
   \]

   \[
   \vec{AQ} = \left(\frac{6}{3} - \frac{8}{3}, 0, -2\right) = \left(-\frac{2}{3}, 0, -2\right)
   \]

   Y

   \[
   \vec{AP} = P - A = \left(1 - \frac{8}{3}, 3 - 1, -3 - 6\right)
   \]

   \[
   \vec{AP} = \left(\frac{3}{3} - \frac{8}{3}, 2, -9\right) = \left(-\frac{5}{3}, 2, -9\right)
   \]

   Entonces, los vectores son:

   \[
   \vec{AQ} = \left(-\frac{2}{3}, 0, -2\right), \quad \vec{AP} = \left(-\frac{5}{3}, 2, -9\right)
   \]

2. **Calcular el producto vectorial** \( \vec{AQ} \times \vec{AP} \):

   El producto vectorial de dos vectores \( \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \) y \( \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \) es:

   \[
   \vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right)
   \]

   Aplicamos esto a \( \vec{AQ} \) y \( \vec{AP} \):

   \[
   \vec{AQ} \times \vec{AP} = \left( 0 \cdot (-9) - (-2) \cdot 2, (-2) \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) - \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot (-9), \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot 2 - 0 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) \right)
   \]

   Esto nos da:

   \[
   \vec{AQ} \times \vec{AP} = (0 + 4, \frac{10}{3} - 6, -\frac{4}{3})
   \]

   \[
   \vec{AQ} \times \vec{AP} = (4, \frac{10}{3} - \frac{18}{3}, -\frac{4}{3}) = \left(4, -\frac{8}{3}, -\frac{4}{3}\right)
   \]

3. **Calcular el módulo del producto vectorial**:

   El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial:

   \[
   \text{Área} = \left| \vec{AQ} \times \vec{AP} \right| = \sqrt{4^2 + \left(-\frac{8}{3}\right)^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2}
   \]

   Calculamos cada término:

   \[
   4^2 = 16, \quad \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}, \quad \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}
   \]

   Entonces, el área es:

   \[
   \text{Área} = \sqrt{16 + \frac{64}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{16 + \frac{80}{9}} = \sqrt{\frac{144}{9} + \frac{80}{9}} = \sqrt{\frac{224}{9}}
   \]

   \[
   \text{Área} = \frac{\sqrt{224}}{3} = \frac{4\sqrt{14}}{3}
   \]

### Respuesta final:
El área del paralelogramo es \( \frac{4\sqrt{14}}{3} \) unidades cuadradas.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

---

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**Tip**: El producto vectorial no solo da el área, sino que también define la dirección perpendicular al plano donde se encuentran los dos vectores.

Analice mediante las propiedades del producto vectorial sual es el valar del area del paralelogramo cuyos vértices son 8/3,1,6): Q/2,1,4) y P(1,3,-3

Aprende a calcular el área de un paralelogramo cuyos vértices son A(8/3,1,6), Q(2,1,4), y P(1,3,-3) usando el producto vectorial. Este problema cubre conceptos clave de cálculo vectorial y geometría. Adecuado para estudiantes de grados 11-12.

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