Dada la recta x + 3y = 6, expresar el área del rectángulo inscrito en el primer cuadrante y la recta en función de x (con sus lados parte de los ejes, y la esquina  en la  recta en el primer cuadrante).

Dada la ecuación de la recta \( x + 3y = 6 \), se nos pide expresar el área de un rectángulo inscrito en el primer cuadrante, con sus lados apoyados en los ejes y una de sus esquinas sobre la recta.

### Paso 1: Expresión de la coordenada \( y \) en función de \( x \)
Podemos despejar \( y \) de la ecuación de la recta:

\[
x + 3y = 6 \implies 3y = 6 - x \implies y = \frac{6 - x}{3}.
\]

Esta es la ecuación de la recta en el primer cuadrante, donde \( y \) depende de \( x \).

### Paso 2: Área del rectángulo
El rectángulo tiene uno de sus lados sobre el eje \( x \), con longitud \( x \), y otro sobre el eje \( y \), con longitud \( y = \frac{6 - x}{3} \).

El área \( A \) del rectángulo es el producto de estos dos lados:

\[
A(x) = x \cdot y = x \cdot \frac{6 - x}{3}.
\]

Simplificando:

\[
A(x) = \frac{x(6 - x)}{3} = \frac{6x - x^2}{3}.
\]

Por lo tanto, el área del rectángulo en función de \( x \) es:

\[
A(x) = \frac{6x - x^2}{3}.
\]

### Paso 3: Restricciones para \( x \)
Dado que el rectángulo se encuentra en el primer cuadrante, tanto \( x \) como \( y \) deben ser positivos. De la ecuación \( x + 3y = 6 \), deducimos que \( 0 < x < 6 \), ya que para \( x = 0 \) o \( x = 6 \), el área del rectángulo sería cero.

¿Te gustaría más detalles o aclaraciones?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra el valor de \( x \) que maximiza el área del rectángulo?
2. ¿Cómo cambiaría la solución si la recta fuera diferente, por ejemplo, \( 2x + y = 8 \)?
3. ¿Cuál es el significado geométrico de maximizar el área en este contexto?
4. ¿Cómo influye la pendiente de la recta en la forma del rectángulo inscrito?
5. ¿Cómo encontrar el área cuando las coordenadas de la recta son diferentes?

**Tip:** Para maximizar o minimizar una función cuadrática, la derivada es una herramienta útil para encontrar los valores críticos.

Dada la recta x + 3y = 6, expresar el área del rectángulo inscrito en el primer cuadrante y la recta en función de x (con sus lados parte de los ejes, y la esquina en la recta en el primer cuadrante).

Aprende a expresar el área de un rectángulo inscrito en el primer cuadrante, con lados en los ejes y una esquina sobre la recta x + 3y = 6, en función de x. Este problema cubre conceptos clave de geometría analítica y funciones cuadráticas. Adecuado para estudiantes de los grados 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation