El vector AB−→−
 tiene punto inicial en A(1,1)
 y final en B(5,4)
. El vector CD−→−
 tiene punto inicial en C(−2,7)
 y D(−4,1)Cual es el  ángulo formado por los dos vectores

Para calcular el ángulo entre dos vectores, podemos usar la fórmula del **producto escalar**:

\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|}
\]

Donde:
- \(\vec{AB}\) es el vector que va de A a B.
- \(\vec{CD}\) es el vector que va de C a D.
- \(\theta\) es el ángulo entre los dos vectores.

### Paso 1: Encontrar los vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{CD}\)

El vector \(\vec{AB}\) se calcula restando las coordenadas del punto A de las coordenadas del punto B:

\[
\vec{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (5 - 1, 4 - 1) = (4, 3)
\]

El vector \(\vec{CD}\) se calcula restando las coordenadas del punto C de las coordenadas del punto D:

\[
\vec{CD} = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (-4 - (-2), 1 - 7) = (-2, -6)
\]

### Paso 2: Calcular el producto escalar \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\)

El producto escalar de dos vectores \((a, b)\) y \((c, d)\) es:

\[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (a \cdot c) + (b \cdot d)
\]

Sustituyendo los valores de \(\vec{AB} = (4, 3)\) y \(\vec{CD} = (-2, -6)\):

\[
\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (4 \cdot -2) + (3 \cdot -6) = -8 + (-18) = -26
\]

### Paso 3: Calcular las magnitudes de los vectores \(|\vec{AB}|\) y \(|\vec{CD}|\)

La magnitud de un vector \((a, b)\) es:

\[
|\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

Para \(\vec{AB} = (4, 3)\):

\[
|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

Para \(\vec{CD} = (-2, -6)\):

\[
|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
\]

### Paso 4: Sustituir en la fórmula del coseno

Sustituimos los valores en la fórmula:

\[
\cos(\theta) = \frac{-26}{5 \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{-26}{10\sqrt{10}}
\]

### Paso 5: Calcular el ángulo \(\theta\)

Para obtener el ángulo \(\theta\), usamos la función inversa del coseno (\(\cos^{-1}\)):

\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-26}{10\sqrt{10}}\right)
\]

Voy a calcular esto para obtener el valor del ángulo.El ángulo formado entre los vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{CD}\) es aproximadamente \(145.30^\circ\).

¿Te gustaría más detalles sobre los cálculos, o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se relaciona el producto escalar con el ángulo entre dos vectores?
2. ¿Cómo se calcula la magnitud de un vector en el espacio tridimensional?
3. ¿Qué sucede si dos vectores son ortogonales en cuanto al producto escalar?
4. ¿Cómo se podría calcular el ángulo entre vectores en coordenadas polares?
5. ¿En qué situaciones el ángulo entre dos vectores sería cero o \(180^\circ\)?

**Tip:** Si el producto escalar es negativo, el ángulo entre los vectores es obtuso (mayor de \(90^\circ\)).

El vector AB tiene punto inicial en A(1,1) y final en B(5,4). El vector CD tiene punto inicial en C(−2,7) y D(−4,1). ¿Cuál es el ángulo formado por los dos vectores?

Aprende cómo calcular el ángulo entre los vectores AB y CD con la fórmula del producto escalar. Se explica paso a paso el cálculo de las magnitudes y el producto escalar, con un resultado de aproximadamente 145.30°. Adecuado para estudiantes de grados 10-12.

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