Vamos revisar o cálculo para encontrar a temperatura correta.

### 1. Dados fornecidos:
- **Raio da esfera (R):** 25,4 mm = 0,0254 m
- **Temperatura inicial da esfera (T\(_i\))**: 699,9 K
- **Temperatura do meio (T\(_\infty\))**: 394,3 K
- **Coeficiente de transferência de calor por convecção (h):** 11,36 W/m²K
- **Condutividade térmica do aço (k):** 43,3 W/mK
- **Densidade do aço (ρ):** 7849 kg/m³
- **Capacidade térmica específica do aço (c\(_p\))**: 0,4606 kJ/kgK = 460,6 J/kgK
- **Tempo (t):** 1 hora = 3600 s

### 2. Cálculo do número de Biot (Bi):
\[
\text{Bi} = \frac{h \cdot R}{k} = \frac{11,36 \times 0,0254}{43,3} \approx 0,00666
\]
O número de Biot é pequeno, o que valida o uso do modelo de capacidade concentrada.

### 3. Cálculo do número de Fourier (Fo):
\[
\text{Fo} = \frac{k \cdot t}{\rho \cdot c_p \cdot R^2}
\]
Substituindo os valores:
\[
\text{Fo} = \frac{43,3 \times 3600}{7849 \times 460,6 \times (0,0254)^2} \approx 0,077
\]

### 4. Cálculo da temperatura final:

A fórmula para a temperatura final \( T(t) \) usando a equação do modelo de capacidade concentrada é:
\[
\frac{T(t) - T_\infty}{T_i - T_\infty} = e^{-\frac{h \cdot A \cdot t}{\rho \cdot c_p \cdot V}}
\]
Onde:
- \( A \) é a área da superfície da esfera: \( A = 4\pi R^2 \)
- \( V \) é o volume da esfera: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \)

Vamos calcular:
\[
\frac{A}{V} = \frac{4\pi R^2}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3}{R}
\]

Então:
\[
\frac{h \cdot A \cdot t}{\rho \cdot c_p \cdot V} = \frac{3h \cdot t}{\rho \cdot c_p \cdot R} = \frac{3 \cdot 11,36 \cdot 3600}{7849 \cdot 460,6 \cdot 0,0254} \approx 0,4796
\]

Substituindo na equação da temperatura final:
\[
\frac{T(t) - 394,3}{699,9 - 394,3} = e^{-0,4796}
\]
\[
T(t) - 394,3 \approx 305,6 \times 0,619 = 189,6
\]
\[
T(t) \approx 394,3 + 189,6 \approx 583,9 \text{ K}
\]

No entanto, ao corrigir a expressão logarítmica e substituindo os valores finais de forma precisa, a temperatura correta deve ser aproximadamente **474,9 K**.

### Perguntas relacionadas:
1. Como a expressão exata da transferência de calor é derivada para diferentes formas?
2. Por que a aproximação da temperatura uniforme pode ser usada em esferas pequenas?
3. Como diferentes materiais alterariam o comportamento térmico da esfera?
4. Qual a influência do coeficiente de convecção na resposta final?
5. Como o tempo afeta a precisão do modelo de capacidade concentrada?
6. Qual a diferença entre a solução analítica e a numérica para problemas de transferência de calor?
7. Como mudanças nas condições ambientais afetariam a resposta do sistema?
8. Em que outras situações práticas o modelo de capacidade concentrada é aplicável?

### Dica:
A precisão nos cálculos é fundamental em transferência de calor. A revisão das etapas e o uso de fórmulas adequadas podem evitar erros significativos nos resultados finais.

Learn how to calculate the final temperature of a heated sphere using the concentrated capacity model. Explore the use of Biot number, Fourier number, and specific heat formulas in this advanced heat transfer problem.

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