Un objeto se lleva desde un lugar cuya temperatura del aire es de 60 grados F hasta otro espacio donde
la temperatura es 12 grados F. Medio minuto después la temperatura del cuerpo es de 46 grados. ¿Cuál es
la temperatura del objeto un minuto después del cambio de espacio? ¿Cuánto tiempo se requiere para que
el objeto llegue a una temperatura de 20 grados?



Este problema se puede resolver utilizando la **ley de enfriamiento de Newton**, que describe cómo cambia la temperatura de un objeto en función de la diferencia de temperatura entre el objeto y el entorno.

La ley de enfriamiento de Newton se expresa como:

\[
\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}})
\]

donde:

- \( T \) es la temperatura del objeto en el tiempo \( t \),
- \( T_{\text{amb}} \) es la temperatura del ambiente,
- \( k \) es una constante de proporcionalidad,
- \( t \) es el tiempo transcurrido.

### Datos iniciales:
1. La temperatura inicial del objeto es \( T(0) = 60^\circ F \).
2. La temperatura del ambiente es \( T_{\text{amb}} = 12^\circ F \).
3. A los 30 segundos, la temperatura del objeto es \( T(0.5) = 46^\circ F \).

Queremos determinar:

1. La temperatura del objeto un minuto después del cambio de espacio, es decir, \( T(1) \).
2. El tiempo que tarda el objeto en alcanzar los \( 20^\circ F \), es decir, cuando \( T(t) = 20^\circ F \).

### Resolución paso a paso:

1. **Encontrar la constante \( k \)** usando los datos proporcionados.
   
   La solución general de la ley de enfriamiento de Newton es:
   
   \[
   T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}}) e^{-kt}
   \]
   
   donde:
   - \( T_0 \) es la temperatura inicial del objeto.

   Con los datos proporcionados, podemos calcular el valor de \( k \). Una vez que tengamos \( k \), podemos utilizar la fórmula para encontrar la temperatura a los 60 segundos y el tiempo necesario para alcanzar los \( 20^\circ F \).

Voy a calcular \( k \) y luego determinar las respuestas solicitadas.from math import log, exp

# Datos iniciales
T0 = 60  # Temperatura inicial del objeto en grados Fahrenheit
T_amb = 12  # Temperatura del ambiente en grados Fahrenheit
T_half_minute = 46  # Temperatura del objeto a los 30 segundos
t_half_minute = 0.5  # Tiempo en minutos

# Ecuación de la ley de enfriamiento: T(t) = T_amb + (T0 - T_amb) * exp(-kt)
# Usando los datos para encontrar k a los 30 segundos

k = -log((T_half_minute - T_amb) / (T0 - T_amb)) / t_half_minute

# Ahora encontramos la temperatura a los 60 segundos (1 minuto)
t_one_minute = 1  # Tiempo en minutos
T_one_minute = T_amb + (T0 - T_amb) * exp(-k * t_one_minute)

# Para encontrar el tiempo cuando la temperatura sea 20 grados
T_target = 20
t_target = -log((T_target - T_amb) / (T0 - T_amb)) / k

T_one_minute, t_target### Respuesta:

1. **Temperatura del objeto un minuto después del cambio de espacio**: La temperatura del objeto a los 60 segundos será aproximadamente \( 36.08^\circ F \).

2. **Tiempo necesario para que el objeto alcance los \( 20^\circ F \)**: El objeto alcanzará los \( 20^\circ F \) después de aproximadamente **2.60 minutos**.

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la constante \( k \) en otros problemas de enfriamiento?
2. ¿Qué sucede si la temperatura del ambiente cambia con el tiempo?
3. ¿Cómo afectaría un material con alta capacidad térmica la velocidad de enfriamiento?
4. ¿Cómo se aplica la ley de enfriamiento de Newton a diferentes contextos, como líquidos o gases?
5. ¿Qué pasa si el cuerpo inicialmente tiene una temperatura inferior a la del ambiente?

### Tip:
La ley de enfriamiento de Newton se aplica mejor cuando la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno es relativamente pequeña y constante.

Learn how to apply Newton's law of cooling to solve temperature change problems with detailed step-by-step solutions. This problem involves calculating temperature changes of an object moving between environments, determining its temperature after a minute, and finding the time to reach a specific temperature. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation