suponga que R(t)=(3t2-t)i+(2-6t)j - 4rk Encuentre a)integralR(t)dt y b)integral de 2a 4R(t) dt paso a  paso y grafica en 3D  

Aquí tienes la gráfica en 3D de la función vectorial \(\mathbf{R}(t)\) para \( t \) en el intervalo [2, 4].

### Resumen:
- **Integral indefinida de \( \mathbf{R}(t) \)**:
  \[
  \int \mathbf{R}(t) \, dt = \left(t^3 - \frac{t^2}{2} + C_1\right) \mathbf{i} + \left(2t - 3t^2 + C_3\right) \mathbf{j} + \left(-2t^2 + C_5\right) \mathbf{k}
  \]
- **Integral definida de \( \mathbf{R}(t) \) de 2 a 4**:
  \[
  \int_{2}^{4} \mathbf{R}(t) \, dt = 50 \mathbf{i} - 32 \mathbf{j} - 24 \mathbf{k}
  \]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? 

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan integrales definidas para funciones vectoriales en general?
2. ¿Qué significa la integral de una función vectorial en el contexto físico?
3. ¿Cómo se interpreta geométricamente la integral definida de una función vectorial?
4. ¿Qué papel juegan las constantes de integración en la solución de integrales indefinidas?
5. ¿Cómo afecta el intervalo de integración a la gráfica de la función vectorial?

### Tip:
Cuando calculas la integral de una función vectorial, cada componente de la función se integra por separado, como si fueran funciones escalares independientes.

Explore how to calculate line integrals of vector fields using the example of the vector function R(t)=(3t^2-t)i+(2-6t)j-4rk. Includes detailed solutions for both indefinite and definite integrals from t=2 to t=4. Suitable for advanced undergraduate students and anyone interested in vector calculus.

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