3. Una persona invierte $5.000.000 durante año y medio con intereses liquidados y capitalizados mensualmente y le entregan al final $6.250.000 como capital más intereses. ¿Cuál fue la tasa de interés?
4. ¿A qué tasa trimestral se triplica un capital en cinco años?
5. Una persona invierte cierto capital a una tasa del 24% anual nominal con liquidación mensual de intereses. ¿Dentro de cuántos meses se triplica el capital?
6. Calcule la cantidad depositada hacen un año si ahora se tienen $1000 con una tasa de interés de 5% anual y determine la cantidad de intereses ganados durante ese periodo.

Vamos a resolver cada uno de los problemas planteados.

### 3. Cálculo de la tasa de interés mensual
Se tiene una inversión de $5.000.000 que al cabo de año y medio (18 meses) se convierte en $6.250.000 con capitalización mensual. Queremos encontrar la tasa de interés mensual.

La fórmula para el monto final en un interés compuesto es:

\[
M = P \times \left(1 + \frac{i}{100}\right)^n
\]

Donde:
- $M$ es el monto final ($6.250.000),
- $P$ es el capital inicial ($5.000.000),
- $i$ es la tasa de interés mensual,
- $n$ es el número de periodos (18 meses).

Reemplazando los valores conocidos:

\[
6.250.000 = 5.000.000 \times \left(1 + \frac{i}{100}\right)^{18}
\]

Dividiendo ambos lados por 5.000.000:

\[
1,25 = \left(1 + \frac{i}{100}\right)^{18}
\]

Aplicando logaritmos para despejar $i$:

\[
\log(1,25) = 18 \times \log\left(1 + \frac{i}{100}\right)
\]

\[
\frac{\log(1,25)}{18} = \log\left(1 + \frac{i}{100}\right)
\]

Tomando antilogaritmo:

\[
1 + \frac{i}{100} = 10^{\frac{\log(1,25)}{18}}
\]

Finalmente:

\[
\frac{i}{100} = 10^{\frac{\log(1,25)}{18}} - 1
\]

\[
i = 100 \times \left(10^{\frac{\log(1,25)}{18}} - 1\right)
\]

Calculamos el valor de $i$:

\[
i \approx 1.21\%
\]

Entonces, la tasa de interés mensual es aproximadamente **1.21%**.

### 4. Cálculo de la tasa trimestral para triplicar el capital en 5 años
Queremos encontrar la tasa de interés trimestral $i$ que triplica el capital en 5 años (es decir, 20 trimestres).

La fórmula para el interés compuesto es:

\[
M = P \times \left(1 + \frac{i}{100}\right)^n
\]

Si el capital se triplica, entonces $M = 3P$, y el número de trimestres $n = 20$:

\[
3P = P \times \left(1 + \frac{i}{100}\right)^{20}
\]

Dividiendo ambos lados por $P$:

\[
3 = \left(1 + \frac{i}{100}\right)^{20}
\]

Aplicando logaritmos:

\[
\log(3) = 20 \times \log\left(1 + \frac{i}{100}\right)
\]

Despejando $i$:

\[
\frac{\log(3)}{20} = \log\left(1 + \frac{i}{100}\right)
\]

\[
1 + \frac{i}{100} = 10^{\frac{\log(3)}{20}}
\]

\[
\frac{i}{100} = 10^{\frac{\log(3)}{20}} - 1
\]

\[
i = 100 \times \left(10^{\frac{\log(3)}{20}} - 1\right)
\]

Calculamos el valor de $i$:

\[
i \approx 5.65\%
\]

Entonces, la tasa trimestral es aproximadamente **5.65%**.

### 5. Tiempo necesario para triplicar el capital con liquidación mensual de intereses
Queremos encontrar cuántos meses $n$ se necesitan para triplicar un capital con una tasa de 24% anual nominal con liquidación mensual.

La tasa mensual $i$ se obtiene dividiendo la tasa anual nominal entre 12:

\[
i = \frac{24\%}{12} = 2\%
\]

La fórmula para el monto final es:

\[
M = P \times \left(1 + \frac{i}{100}\right)^n
\]

Si el capital se triplica, entonces $M = 3P$:

\[
3P = P \times \left(1 + 0.02\right)^n
\]

Dividiendo ambos lados por $P$:

\[
3 = 1.02^n
\]

Aplicando logaritmos:

\[
\log(3) = n \times \log(1.02)
\]

Despejando $n$:

\[
n = \frac{\log(3)}{\log(1.02)} \approx 56.4
\]

Por lo tanto, se necesitan aproximadamente **57 meses** para triplicar el capital.

### 6. Cálculo del depósito inicial y los intereses ganados
Queremos saber cuánto se depositó hace un año si ahora se tienen $1000 con una tasa de interés del 5% anual.

Usamos la fórmula del interés compuesto, pero en este caso necesitamos encontrar el capital inicial $P$:

\[
M = P \times \left(1 + \frac{i}{100}\right)^n
\]

Donde:
- $M = 1000$,
- $i = 5\%$,
- $n = 1$ año.

Reemplazamos y despejamos $P$:

\[
1000 = P \times (1 + 0.05)
\]

\[
P = \frac{1000}{1.05} \approx 952.38
\]

Entonces, el capital inicial depositado fue aproximadamente **$952.38**.

Los intereses ganados durante ese periodo serían:

\[
Intereses = M - P = 1000 - 952.38 = 47.62
\]

Los intereses ganados son **$47.62**.

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos problemas?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la tasa de interés nominal a partir de la tasa efectiva?
2. ¿Qué ocurre si los intereses se liquidan anualmente en lugar de mensualmente?
3. ¿Cómo afecta la frecuencia de capitalización al monto final de una inversión?
4. ¿Qué diferencia hay entre tasa de interés efectiva y nominal?
5. ¿Cómo calcular la tasa de interés en una inversión con capitalización continua?

### Tip:
Recuerda que la frecuencia de capitalización puede tener un impacto significativo en el rendimiento de una inversión, así que es importante entender cómo funciona en diferentes escenarios.

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