Calcule a área total de uma pirâmide regular quadrangular cuja altura mede 8cm e o apótema da base mede 6cm

Para calcular a área total de uma pirâmide regular quadrangular, precisamos somar a área da base à área lateral da pirâmide. Vamos resolver isso passo a passo:

### 1. Área da base:
A pirâmide é regular e quadrangular, o que significa que sua base é um quadrado. Se o apótema da base (que é a metade de uma diagonal do quadrado) mede 6 cm, podemos encontrar o lado do quadrado usando a fórmula do apótema de um quadrado:

\[
a = \frac{l \sqrt{2}}{2}
\]

Onde \(a\) é o apótema e \(l\) é o lado do quadrado. Resolva para \(l\):

\[
l = \frac{2a}{\sqrt{2}} = \frac{2 \times 6}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \, \text{cm}
\]

Agora, a área da base \(A_b\) é:

\[
A_b = l^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72 \, \text{cm}^2
\]

### 2. Área lateral:
A área lateral \(A_L\) é dada pela soma das áreas dos 4 triângulos que formam as faces laterais da pirâmide. Cada triângulo tem como base o lado do quadrado (que é \(6\sqrt{2}\) cm) e como altura o apótema da pirâmide.

Podemos calcular o apótema da pirâmide usando o teorema de Pitágoras. O apótema da pirâmide é a altura de um dos triângulos laterais, e a relação é:

\[
\text{Apótema da pirâmide} = \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 8^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 8^2} = \sqrt{18 + 64} = \sqrt{82} \, \text{cm}
\]

A área de cada triângulo lateral é:

\[
A_{\text{triângulo}} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Apótema da pirâmide} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times \sqrt{82}
\]

A área lateral total \(A_L\) será:

\[
A_L = 4 \times A_{\text{triângulo}} = 4 \times \left(\frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times \sqrt{82}\right) = 12\sqrt{2} \times \sqrt{82} \, \text{cm}^2
\]

### 3. Área total:
Finalmente, a área total \(A_T\) da pirâmide será:

\[
A_T = A_b + A_L = 72 + 12\sqrt{2} \times \sqrt{82} \, \text{cm}^2
\]

Essa é a expressão exata para a área total da pirâmide.

### Dúvidas ou detalhes?
Deseja que eu detalhe algum desses passos ou que eu expanda a solução com mais informações?

### Questões relacionadas:
1. Como calcular o volume de uma pirâmide regular quadrangular?
2. O que é o apótema de uma pirâmide?
3. Como calcular a área lateral de uma pirâmide regular?
4. Como encontrar o apótema de uma pirâmide regular?
5. O que é uma pirâmide regular?
6. Como o teorema de Pitágoras é aplicado em pirâmides?
7. Qual a relação entre a área total e a área lateral em uma pirâmide regular?
8. Como calcular a área de um triângulo dado um lado e a altura?

**Dica**: Lembre-se de sempre revisar as unidades de medida para garantir que os cálculos estejam corretos!

Learn how to calculate the total area of a regular quadrangular pyramid with a height of 8 cm and a base apothem of 6 cm. Includes step-by-step calculation of the base area and lateral area using geometric formulas and the Pythagorean theorem. Suitable for advanced high school students.

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