encuentra el area de superficie de esta funcion ahora f(x) = √x en el intervalo [0,16]

Para encontrar el área de superficie de la función \( f(x) = \sqrt{x} \) en el intervalo \([0, 16]\), utilizamos la fórmula del área de superficie de una función rotada alrededor del eje \( x \):

\[ S = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + \left( \frac{df}{dx} \right)^2} \, dx \]

1. **Encuentra la derivada de \( f(x) \)**:
\[ f(x) = \sqrt{x} \]
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

2. **Sustituye \( f(x) \) y \( f'(x) \) en la fórmula**:
\[ S = \int_0^{16} 2\pi \sqrt{x} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)^2} \, dx \]

3. **Simplifica dentro de la raíz**:
\[ \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)^2 = \frac{1}{4x} \]
\[ S = \int_0^{16} 2\pi \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} \, dx \]
\[ S = \int_0^{16} 2\pi \sqrt{x} \sqrt{\frac{4x + 1}{4x}} \, dx \]
\[ S = \int_0^{16} 2\pi \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} \, dx \]
\[ S = \int_0^{16} \pi \sqrt{4x + 1} \, dx \]

4. **Realiza un cambio de variable para simplificar la integral**:
Sea \( u = 4x + 1 \), entonces \( du = 4 dx \) y \( dx = \frac{du}{4} \).
Cuando \( x = 0 \), \( u = 1 \).
Cuando \( x = 16 \), \( u = 65 \).

5. **Sustituye y resuelve la integral**:
\[ S = \pi \int_1^{65} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{4} \]
\[ S = \frac{\pi}{4} \int_1^{65} u^{1/2} \, du \]
\[ S = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^{65} \]
\[ S = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_1^{65} \]
\[ S = \frac{\pi}{6} \left[ 65^{3/2} - 1^{3/2} \right] \]
\[ S = \frac{\pi}{6} \left( 65^{3/2} - 1 \right) \]

6. **Calcula el resultado final**:
\[ 65^{3/2} = 65 \sqrt{65} \]
\[ S = \frac{\pi}{6} (65 \sqrt{65} - 1) \]

Así, el área de superficie de la función \( f(x) = \sqrt{x} \) en el intervalo \([0, 16]\) es:

\[ S = \frac{\pi}{6} (65 \sqrt{65} - 1) \]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

1. ¿Qué es una integral definida?
2. ¿Cómo se deriva una función raíz?
3. ¿Qué es un cambio de variable en integración?
4. ¿Cómo se aplica la fórmula del área de superficie de revolución?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica del área de superficie?
6. ¿Por qué se usa el intervalo \([0, 16]\) en este problema?
7. ¿Cómo se simplifica la raíz cuadrada de una fracción?
8. ¿Qué otras técnicas de integración existen?

**Tip:** Siempre verifica los límites de integración al hacer un cambio de variable.

Learn how to calculate the surface area of the function f(x) = √x rotated around the x-axis from 0 to 16. This problem involves integration techniques, derivatives of square root functions, and surface area formulas. Suitable for advanced high school or college-level students.

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