Considérons deux obligations A et B, toutes deux à échéance dans deux ans et dont les coupons sont annuels.
A : valeur nominale de 200€, émise à 206€, remboursée in fine au pair, taux coupon 8%
B : valeur nominale de 300€, émise à 306€, remboursée in fine 315€ , taux coupon 5%
Quel est le taux au comptant pour une maturité dans un an ? 


Pour calculer le taux au comptant pour une maturité d'un an, nous pouvons utiliser les données de l'obligation A. Voici les étapes à suivre :

### Données de l'obligation A :
- Valeur nominale : 200€
- Prix d'émission : 206€
- Remboursement au pair (200€) dans 2 ans
- Taux du coupon : 8% annuel

Le coupon pour l'obligation A est calculé comme suit :
\[ C = 200 \times 0,08 = 16 \, \text{€} \]

### Valeur actuelle de l'obligation A :
La valeur actuelle (VA) de l'obligation A est égale à la somme des valeurs actuelles du coupon et du remboursement.

L'équation de la valeur actuelle est :
\[
206 = \frac{16}{(1+r_1)} + \frac{216}{(1+r_2)^2}
\]
où \( r_1 \) est le taux au comptant pour une maturité d'un an et \( r_2 \) est le taux au comptant pour une maturité de deux ans.

### Calcul du taux au comptant pour une maturité d'un an ( \( r_1 \) ) :
Pour trouver \( r_1 \), on suppose que l'équation ne dépend que de \( r_1 \), ce qui est le cas pour le premier terme. Le second terme est impacté par \( r_2 \), que nous n'avons pas encore déterminé.

L'équation se simplifie à :
\[
\frac{16}{(1+r_1)} = 206 - \frac{216}{(1+r_2)^2}
\]
Puisque nous n'avons pas \( r_2 \), faisons l'hypothèse que \( r_2 \) est égal à \( r_1 \) pour simplifier le calcul. Cela nous permet de trouver une approximation pour \( r_1 \).

Supposons \( r_1 = r_2 \), nous pouvons alors calculer \( r_1 \) en résolvant l'équation suivante :
\[
206 = \frac{16}{(1+r_1)} + \frac{216}{(1+r_1)^2}
\]

Cette équation est quadratique en \( (1 + r_1) \). Résolvons-la :

\[
206(1+r_1)^2 = 16(1+r_1) + 216
\]
\[
206(1 + 2r_1 + r_1^2) = 16 + 16r_1 + 216
\]
\[
206r_1^2 + 412r_1 + 206 = 16r_1 + 232
\]
\[
206r_1^2 + 396r_1 - 26 = 0
\]

Résolvons cette équation quadratique pour \( r_1 \). Les solutions sont données par :
\[
r_1 = \frac{-396 \pm \sqrt{396^2 + 4 \times 206 \times 26}}{2 \times 206}
\]
Calculons maintenant \( r_1 \).

Je vais procéder au calcul.Les solutions de l'équation quadratique pour \( r_1 \) sont :

- \( r_1 = 0.0636 \) (soit 6.36%)
- \( r_1 = -1.9859 \) (qui n'est pas réaliste car un taux d'intérêt ne peut pas être négatif dans ce contexte).

Donc, le taux au comptant pour une maturité d'un an est de **6,36%**.

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ? Voici quelques questions connexes :

1. Comment calcule-t-on le taux au comptant pour une maturité de deux ans ?
2. Pourquoi est-il important de connaître le taux au comptant ?
3. Quelle est la différence entre le taux au comptant et le taux à terme ?
4. Comment interpréter une obligation émise au-dessus de la valeur nominale ?
5. Comment la prime à l'émission affecte-t-elle le rendement d'une obligation ?

**Astuce :** Le taux au comptant est essentiel pour évaluer les prix des obligations, car il permet de déterminer la valeur actuelle de futurs flux de trésorerie.

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