19) El área de un rectángulo es 12 m2 y su diagonal 5 m. Calcula las longitudes de los lados.

Para resolver este problema, necesitamos encontrar las longitudes de los lados de un rectángulo sabiendo que su área es de 12 m² y su diagonal mide 5 m. Llamemos a los lados del rectángulo \( a \) y \( b \).

### Paso 1: Área del rectángulo
\[
a \times b = 12 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

### Paso 2: Relación con la diagonal
La diagonal de un rectángulo forma un triángulo rectángulo con los lados \( a \) y \( b \), por lo que podemos usar el Teorema de Pitágoras:
\[
a^2 + b^2 = 5^2 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]
\[
a^2 + b^2 = 25
\]

### Resolver el sistema de ecuaciones

Primero, despejamos \( b \) en términos de \( a \) usando la Ecuación 1:
\[
b = \frac{12}{a}
\]

Sustituimos \( b \) en la Ecuación 2:
\[
a^2 + \left(\frac{12}{a}\right)^2 = 25
\]
\[
a^2 + \frac{144}{a^2} = 25
\]

Multiplicamos todo por \( a^2 \) para eliminar el denominador:
\[
a^4 + 144 = 25a^2
\]

Reorganizamos la ecuación:
\[
a^4 - 25a^2 + 144 = 0
\]

Esto es una ecuación cuadrática en términos de \( a^2 \). Llamemos \( x = a^2 \):
\[
x^2 - 25x + 144 = 0
\]

Usamos la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2}
\]
\[
x = \frac{25 \pm 7}{2}
\]

Por lo tanto:
\[
x = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{y} \quad x = \frac{18}{2} = 9
\]

Entonces, \( a^2 = 16 \) o \( a^2 = 9 \), lo que nos da:
\[
a = 4 \quad \text{y} \quad b = \frac{12}{4} = 3
\]
o
\[
a = 3 \quad \text{y} \quad b = \frac{12}{3} = 4
\]

### Solución
Las longitudes de los lados del rectángulo son:
- \( a = 4 \) m y \( b = 3 \) m, o viceversa.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas para seguir practicando:
1. ¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?
2. ¿Cuál es el Teorema de Pitágoras y cómo se aplica en diferentes formas geométricas?
3. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática?
4. ¿Qué es una ecuación cuadrática y cómo se puede convertir en términos de otra variable?
5. ¿Cómo se simplifican expresiones algebraicas complejas?

### Consejo
Al trabajar con ecuaciones cuadráticas, es útil reconocer patrones y reescribir la ecuación en términos de una nueva variable si es necesario. Esto puede simplificar el proceso de resolución.

Learn how to calculate the side lengths of a rectangle with given area 12 m² and diagonal 5 m. Detailed step-by-step solution using algebraic equations and the Pythagorean theorem. Suitable for Grades 9-10 students.

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