18) El área de un triángulo rectángulo es 6 m2 y su perímetro 12 m. Calcula la longitud de
los lados del triángulo.

Para resolver este problema, necesitamos encontrar las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su área es de 6 m² y su perímetro es de 12 m. Llamemos a los catetos \( a \) y \( b \), y a la hipotenusa \( c \).

Primero, recordemos las siguientes fórmulas para un triángulo rectángulo:

1. **Área**: \(\frac{1}{2} a b = 6\)
2. **Perímetro**: \( a + b + c = 12 \)
3. **Teorema de Pitágoras**: \( a^2 + b^2 = c^2 \)

### Paso 1: Área del triángulo
\[
\frac{1}{2} a b = 6 \implies a b = 12 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]

### Paso 2: Perímetro del triángulo
\[
a + b + c = 12 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

### Paso 3: Relación con la hipotenusa
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{(Ecuación 3)}
\]

### Resolver el sistema de ecuaciones
Primero, despejamos \( c \) en términos de \( a \) y \( b \) usando la Ecuación 2:
\[
c = 12 - a - b
\]

Luego, sustituimos \( c \) en la Ecuación 3:
\[
(12 - a - b)^2 = a^2 + b^2
\]

Expandiendo y simplificando:
\[
144 - 24a - 24b + a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + b^2
\]
\[
144 - 24a - 24b + 2ab = 0
\]

Simplificamos y usamos la Ecuación 1 ( \( ab = 12 \) ):
\[
144 - 24a - 24b + 24 = 0
\]
\[
168 = 24a + 24b
\]
\[
7 = a + b
\]

Ya tenemos dos ecuaciones:
1. \( ab = 12 \)
2. \( a + b = 7 \)

Resolveremos este sistema de ecuaciones cuadráticas. \( a \) y \( b \) son raíces de la ecuación cuadrática:
\[
x^2 - (a+b)x + ab = 0
\]
\[
x^2 - 7x + 12 = 0
\]

Usamos la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
\[
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}
\]
\[
x = \frac{7 \pm 1}{2}
\]

Entonces:
\[
x = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{y} \quad x = \frac{6}{2} = 3
\]

Por lo tanto, los catetos son \( a = 4 \) y \( b = 3 \).

Finalmente, usando el Teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa \( c \):
\[
c = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

### Solución
Los lados del triángulo rectángulo son:
- \( a = 4 \) m
- \( b = 3 \) m
- \( c = 5 \) m

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas para seguir practicando:
1. ¿Cómo se calcula el área de un triángulo en general?
2. ¿Cuál es el teorema de Pitágoras y cómo se aplica?
3. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática?
4. ¿Qué es un sistema de ecuaciones y cómo se resuelve?
5. ¿Cómo se simplifican expresiones algebraicas?

### Consejo
Al resolver problemas con sistemas de ecuaciones, siempre es útil revisar todas las ecuaciones involucradas y ver cómo se pueden combinar o simplificar para obtener una solución.

Learn how to calculate the sides of a right triangle when given its area as 6 m² and perimeter as 12 m. Detailed step-by-step solution including the Pythagorean theorem. Suitable for high school students.

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