In einem Rechteck ist eine Seite um 5cm kürzer als die andere.
Verkürzt man die längere Seite um 2cm und verlängert man die kürzere Seite um 4cm,
so ist der Flächeninhalt des neuen Rechtecks um 20cm² größer als der Flächeninhalt des
ursprünglichen Rechtecks. Berechne die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks.

Um die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:

1. Bezeichnen wir die längere Seite des ursprünglichen Rechtecks mit \( a \) und die kürzere Seite mit \( b \).
2. Laut der Aufgabenstellung ist \( b \) um 5 cm kürzer als \( a \), also haben wir:
   \[
   b = a - 5
   \]

3. Verkürzt man die längere Seite \( a \) um 2 cm, so erhält man \( a - 2 \). Verlängert man die kürzere Seite \( b \) um 4 cm, so erhält man \( b + 4 \).

4. Der Flächeninhalt des neuen Rechtecks ist um 20 cm² größer als der Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks. Das bedeutet:
   \[
   (a - 2) \cdot (b + 4) = a \cdot b + 20
   \]

5. Setzen wir \( b = a - 5 \) in die Gleichung ein:
   \[
   (a - 2) \cdot ((a - 5) + 4) = a \cdot (a - 5) + 20
   \]

6. Dies vereinfacht sich zu:
   \[
   (a - 2) \cdot (a - 1) = a^2 - 5a + 20
   \]

7. Lösen wir die linke Seite auf:
   \[
   (a - 2)(a - 1) = a^2 - a - 2a + 2 = a^2 - 3a + 2
   \]

8. Setzen wir dies in die Gleichung ein:
   \[
   a^2 - 3a + 2 = a^2 - 5a + 20
   \]

9. Subtrahieren wir \( a^2 \) von beiden Seiten:
   \[
   -3a + 2 = -5a + 20
   \]

10. Addieren wir \( 5a \) zu beiden Seiten:
    \[
    2a + 2 = 20
    \]

11. Subtrahieren wir 2 von beiden Seiten:
    \[
    2a = 18
    \]

12. Teilen wir durch 2:
    \[
    a = 9
    \]

13. Da \( b = a - 5 \), haben wir:
    \[
    b = 9 - 5 = 4
    \]

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks sind also \( a = 9 \) cm und \( b = 4 \) cm.

Möchten Sie die Details zu den Berechnungen oder haben Sie weitere Fragen?

Hier sind 5 Fragen, die Sie stellen könnten:
1. Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Rechtecks?
2. Wie löst man lineare Gleichungssysteme?
3. Wie kann man Quadratische Gleichungen lösen?
4. Was sind die Eigenschaften eines Rechtecks?
5. Wie überprüfe ich meine Berechnungen in Geometrieaufgaben?

**Tipp:** Beim Lösen von Gleichungen kann das schrittweise Isolieren der Variablen die Lösung übersichtlicher machen.

Explore how to calculate the dimensions of a rectangle when given conditions about area changes. Step-by-step solution included. Suitable for Grades 7-9 students learning about quadratic equations and linear equations in geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation