Calcule o produto das soluções da equação 4𝑥2+2 − 3.2𝑥2+3 = 160.  mostra o passo a passo 

Para resolver a equação \( 4^{x^2 + 2} - 3 \cdot 2^{x^2 + 3} = 160 \) e encontrar o produto das soluções, vamos seguir o passo a passo detalhado:

### Passo 1: Simplificação Inicial
Começamos simplificando as potências na equação:

\[
4^{x^2 + 2} - 3 \cdot 2^{x^2 + 3} = 160
\]

Lembrando que \( 4 = 2^2 \), podemos reescrever \( 4^{x^2 + 2} \) como:

\[
4^{x^2 + 2} = (2^2)^{x^2 + 2} = 2^{2(x^2 + 2)} = 2^{2x^2 + 4}
\]

Assim, a equação se torna:

\[
2^{2x^2 + 4} - 3 \cdot 2^{x^2 + 3} = 160
\]

### Passo 2: Substituição de Variável
Para simplificar ainda mais, vamos definir uma nova variável. Defina:

\[
y = 2^{x^2}
\]

Então, a expressão \( 2^{2x^2} \) se torna \( y^2 \). Agora, substituindo na equação original:

\[
2^{2x^2 + 4} = y^2 \cdot 2^4 = 16y^2
\]

e 

\[
3 \cdot 2^{x^2 + 3} = 3 \cdot y \cdot 2^3 = 24y
\]

Substituindo na equação original, obtemos:

\[
16y^2 - 24y = 160
\]

### Passo 3: Resolver a Equação Quadrática
Rearranjando, temos:

\[
16y^2 - 24y - 160 = 0
\]

Vamos simplificar dividindo toda a equação por 8:

\[
2y^2 - 3y - 20 = 0
\]

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática \( ay^2 + by + c = 0 \), onde \( a = 2 \), \( b = -3 \), e \( c = -20 \):

\[
y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20)}}{2 \cdot 2}
\]

\[
y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}
\]

\[
y = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{4}
\]

\[
y = \frac{3 \pm 13}{4}
\]

Isso nos dá duas soluções:

\[
y_1 = \frac{3 + 13}{4} = 4 \quad \text{e} \quad y_2 = \frac{3 - 13}{4} = -\frac{5}{2}
\]

### Passo 4: Encontrar \(x\) a partir de \( y \)
Como definimos \( y = 2^{x^2} \), agora resolvemos para \( x \):

1. Para \( y = 4 \):

\[
2^{x^2} = 4 \implies 2^{x^2} = 2^2 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x = -\sqrt{2}
\]

2. Para \( y = -\frac{5}{2} \), não há solução real, pois \( 2^{x^2} \) não pode ser negativo.

### Passo 5: Produto das Soluções de \( x \)
As soluções reais são \( x = \sqrt{2} \) e \( x = -\sqrt{2} \). O produto das soluções é:

\[
\sqrt{2} \times (-\sqrt{2}) = -2
\]

### Resposta Final
O produto das soluções da equação é:

\[
\boxed{-2}
\]

Caso queira mais detalhes ou tenha dúvidas, por favor, me avise!

### Perguntas Relacionadas:
1. Como resolver equações exponenciais com diferentes bases?
2. Qual é o método para encontrar raízes de uma função quadrática?
3. Como interpretar soluções negativas em contextos físicos?
4. O que acontece com \( 2^{x^2} \) quando \( x \) é complexo?
5. Como simplificar expressões usando substituições de variáveis?

**Dica**: Ao lidar com exponenciais, tente simplificar as bases para facilitar os cálculos e use substituições estratégicas para reduzir a complexidade da equação.

Learn how to calculate the product of solutions for the equation 4𝑥^2 + 2 − 3 ⋅ 2𝑥^2 + 3 = 160. Step-by-step solution including simplification, variable substitution, quadratic equation resolution, and final solution. Suitable for advanced high school students studying exponential equations and quadratic equations.

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