 Encuentre el vértice, foco y directriz de la parábola y bosqueje
su gráfica  x^2=6y

La ecuación de la parábola es \( x^2 = 6y \). Esta es una parábola que abre hacia arriba, ya que el término cuadrático está en \( x \) y el coeficiente de \( y \) es positivo.

### Paso 1: Identificación de la forma estándar
La ecuación \( x^2 = 6y \) se puede comparar con la forma estándar de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, que es:

\[
x^2 = 4py
\]

Aquí, \( 4p = 6 \), por lo que podemos resolver para \( p \):

\[
p = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5
\]

### Paso 2: Vértice
El vértice de la parábola es el punto desde donde la parábola comienza. Dado que no hay términos lineales en \( x \) o \( y \) y no hay términos constantes, el vértice está en el origen \( (0, 0) \).

### Paso 3: Foco
El foco se encuentra a una distancia \( p \) del vértice en la misma dirección en la que abre la parábola. Para esta parábola, que abre hacia arriba, el foco estará en:

\[
\left(0, p\right) = \left(0, 1.5\right)
\]

### Paso 4: Directriz
La directriz es una línea horizontal que está a una distancia \( p \) del vértice, pero en la dirección opuesta al foco. Por lo tanto, la ecuación de la directriz es:

\[
y = -p = -1.5
\]

### Resumen
- **Vértice:** \( (0, 0) \)
- **Foco:** \( (0, 1.5) \)
- **Directriz:** \( y = -1.5 \)

### Paso 5: Bosquejo de la gráfica
La parábola abre hacia arriba desde el vértice en \( (0, 0) \), con el foco en \( (0, 1.5) \) y la directriz en \( y = -1.5 \).

¿Te gustaría que bosqueje la gráfica para ti? 

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**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se encuentra la ecuación de la directriz para una parábola que abre hacia la derecha?
2. ¿Qué sucede con el foco y la directriz si la parábola abre hacia abajo?
3. ¿Cómo se determinaría el vértice si la parábola tuviera un término de traslación?
4. ¿Cómo afecta el valor de \( p \) a la forma de la parábola?
5. ¿Qué relación existe entre la distancia del foco a la directriz y la forma de la parábola?

**Tip:** En las parábolas, el valor de \( p \) determina la distancia entre el vértice y el foco, así como la distancia entre el vértice y la directriz. Un \( p \) más grande hace que la parábola sea más "ancha".

Learn how to find the vertex, focus, and directrix of the parabola x^2 = 6y. Understand the standard form of a parabola and how to apply it. Suitable for high school students.

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