quanto é o limite de x tendendo a 0 de 2sen(x)+3x/-3x+sen(x)

Para calcular o limite da função \(\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x) + 3x}{-3x + \sin(x)}\), vamos seguir os passos abaixo:

1. **Substituição direta**: Tentar substituir \(x = 0\) na função:
   \[
   \frac{2\sin(0) + 3(0)}{-3(0) + \sin(0)} = \frac{0 + 0}{0 + 0} = \frac{0}{0}
   \]
   Como o resultado é uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \), devemos aplicar outra técnica, como a **regra de L'Hôpital**.

2. **Aplicação da Regra de L'Hôpital**: Esta regra pode ser aplicada em limites que resultam em formas indeterminadas como \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \). Para aplicá-la, derivamos o numerador e o denominador separadamente e calculamos o limite da nova função:

   Derivando o numerador \( 2\sin(x) + 3x \) com relação a \(x\):
   \[
   \frac{d}{dx} [2\sin(x) + 3x] = 2\cos(x) + 3
   \]

   Derivando o denominador \( -3x + \sin(x) \) com relação a \(x\):
   \[
   \frac{d}{dx} [-3x + \sin(x)] = -3 + \cos(x)
   \]

   Agora, calculamos o limite da função derivada:
   \[
   \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(x) + 3}{-3 + \cos(x)}
   \]
   Substituindo \(x = 0\):
   \[
   \frac{2\cos(0) + 3}{-3 + \cos(0)} = \frac{2(1) + 3}{-3 + 1} = \frac{2 + 3}{-2} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}
   \]

Portanto, o limite é:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x) + 3x}{-3x + \sin(x)} = -\frac{5}{2}
\]

Você tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes sobre o processo?

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Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como aplicar a regra de L'Hôpital em outros casos de formas indeterminadas?
2. O que caracteriza uma forma indeterminada em limites?
3. Em que situações a substituição direta no limite é suficiente?
4. Como derivar funções trigonométricas compostas?
5. Quais outras técnicas além da regra de L'Hôpital podem ser usadas para resolver limites?

**Dica:** A regra de L'Hôpital é muito útil, mas certifique-se de que as condições para usá-la (formas indeterminadas como \( \frac{0}{0} \) ou \( \frac{\infty}{\infty} \)) estão presentes antes de aplicá-la.

Learn how to calculate the limit of the function (2sin(x) + 3x) / (-3x + sin(x)) as x approaches 0 using L'Hôpital's Rule. Step-by-step solution provided.

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