我们需要求 \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}\)。

我们可以使用泰勒展开和洛必达法则来求解这个极限。

### 方法一：泰勒展开

首先，我们知道 \(\sin x\) 的泰勒展开式在 \(x = 0\) 附近为：
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)
\]

因此，\(x - \sin x\) 可以展开为：
\[
x - \sin x = x - \left( x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \right) = \frac{x^3}{6} + O(x^5)
\]

所以我们有：
\[
\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = \frac{1}{6} + O(x^2)
\]

当 \(x \to 0\) 时，\(O(x^2)\) 趋近于0，因此极限为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}
\]

### 方法二：洛必达法则

我们也可以使用洛必达法则，因为这个表达式是一个 \(\frac{0}{0}\) 形式的极限。

首先对分子和分母分别求导：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}
\]

再次应用洛必达法则：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}
\]

最终极限为：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}
\]

### 结论：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}
\]

你有任何问题或需要进一步解释吗？

### 相关问题：
1. 如何使用洛必达法则处理其他形式的 \(\frac{0}{0}\) 极限？
2. 在泰勒展开中，如何确定高阶项的贡献？
3. 为什么 \(\sin x\) 的泰勒展开对于小 \(x\) 近似得这么好？
4. 你能举出一个极限问题吗，其中泰勒展开和洛必达法则都无效？
5. 如何使用洛必达法则处理 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^3}\)？

### 提示：
在处理极限问题时，泰勒展开是一个非常有用的工具，尤其是当你处理涉及三角函数的小角度近似时。

Explore the solution to the limit problem lim(x → 0) (x - sin(x)) / x^3 using Taylor series expansion and L'Hopital's rule. Learn the step-by-step method to solve this calculus problem efficiently.

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