 Determine a matriz inversa de A=
 [1 −2 0
 2 2 −1
 1 3 −1] 
 utilizando as operações elementares sobre a matriz aumentada. 

Para determinar a inversa da matriz \( A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix} \) utilizando operações elementares, seguiremos o método da matriz aumentada, onde transformamos a matriz \( A \) em uma matriz identidade através de operações elementares, aplicando as mesmas operações à matriz identidade para obter a inversa.

### Passo 1: Formar a matriz aumentada
A matriz aumentada será \( [A | I] \), onde \( I \) é a matriz identidade de ordem 3.

\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\]

### Passo 2: Transformar a primeira linha
Já temos o elemento pivô \( 1 \) na posição (1,1), então podemos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dele.

Subtraímos \( 2 \times \) (linha 1) da linha 2 e \( 1 \times \) (linha 1) da linha 3:

\[
L_2 = L_2 - 2 \cdot L_1
\]
\[
L_3 = L_3 - L_1
\]

Após essas operações, a matriz aumentada será:

\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 6 & -1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 5 & -1 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\]

### Passo 3: Transformar o pivô da linha 2 em 1
Para transformar o pivô da linha 2 (elemento \( 6 \)) em \( 1 \), dividimos toda a linha 2 por 6:

\[
L_2 = \frac{L_2}{6}
\]

A matriz aumentada agora será:

\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 0 \\
0 & 5 & -1 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\]

### Passo 4: Zerar o elemento acima e abaixo do pivô da linha 2
Agora, precisamos zerar os elementos na coluna 2, acima e abaixo do pivô (posição (2,2)).

Para a linha 1:
\[
L_1 = L_1 + 2 \cdot L_2
\]

Para a linha 3:
\[
L_3 = L_3 - 5 \cdot L_2
\]

Após essas operações, temos:

\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{6} & \frac{2}{3} & -\frac{5}{6} & 1 \\
\end{array}
\right]
\]

### Passo 5: Transformar o pivô da linha 3 em 1
Para transformar o pivô da linha 3 (elemento \( -\frac{1}{6} \)) em \( 1 \), multiplicamos a linha 3 por \( -6 \):

\[
L_3 = -6 \cdot L_3
\]

A matriz agora será:

\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{6} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -4 & 5 & -6 \\
\end{array}
\right]
\]

### Passo 6: Zerar os elementos acima do pivô da linha 3
Agora, precisamos zerar os elementos acima do pivô da linha 3 (posição (3,3)).

Para a linha 1:
\[
L_1 = L_1 + \frac{1}{3} \cdot L_3
\]

Para a linha 2:
\[
L_2 = L_2 + \frac{1}{6} \cdot L_3
\]

Após essas operações, obtemos a matriz identidade à esquerda e a inversa de \( A \) à direita:

\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 2 & -2 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & -4 & 5 & -6 \\
\end{array}
\right]
\]

### Conclusão:
A inversa da matriz \( A \) é:

\[
A^{-1} = \begin{bmatrix}
-1 & 2 & -2 \\
-1 & 1 & -1 \\
-4 & 5 & -6
\end{bmatrix}
\]

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, me avise!

Aqui estão algumas perguntas relativas:
1. Qual é o conceito de matriz inversa e para que ela é usada?
2. Como garantir que uma matriz possui inversa?
3. O que são operações elementares em matrizes?
4. Qual é a relação entre determinantes e inversas de matrizes?
5. Existe algum método mais eficiente que o uso de operações elementares?

**Dica**: Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero!

Determine a matriz inversa de A= [1 −2 0, 2 2 −1, 1 3 −1] utilizando as operações elementares sobre a matriz aumentada.

Learn how to determine the inverse of matrix A = [1 −2 0, 2 2 −1, 1 3 −1] by using elementary row operations on an augmented matrix. This step-by-step solution involves transforming the matrix into the identity matrix while applying the same operations to find its inverse. Suitable for students studying linear algebra at the undergraduate level.

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