Sea f
 una función continua en [−π,π]
 y diferenciable a trozos tal que f(−π)=2=f(π)
.

Suponga que los coeficientes de la serie de Fourier son 
a0=2, an=1n, bn=3n3
Entonces ∫π−πf2(x)dx
 es 

Seleccione una:

a.
2π+∑n=1∞π(1n2+9n6)


b.
1+∑n=1∞(1n+3n3)


c.
π+∑n=1∞π(1n+3n3)


d.
2+∑n=1∞(1n2+9n3)

Para calcular \( \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx \), utilizamos la expresión de la energía de la función en términos de sus coeficientes de Fourier. La energía se expresa como:

\[
\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = \frac{a_0^2 \cdot \pi}{2} + \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n^2 + b_n^2 \right)
\]

Dado que \( a_0 = 2 \), \( a_n = \frac{1}{n} \), y \( b_n = \frac{3}{n^3} \), sustituimos estos valores:

1. \( \frac{a_0^2 \cdot \pi}{2} = \frac{(2)^2 \cdot \pi}{2} = 2\pi \)
2. \( a_n^2 = \left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{n^2} \)
3. \( b_n^2 = \left(\frac{3}{n^3}\right)^2 = \frac{9}{n^6} \)

Entonces:

\[
\int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx = 2\pi + \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{9}{n^6} \right)
\]

Por lo tanto, la opción correcta es:

**a.** \( 2\pi + \sum_{n=1}^{\infty} \pi \left( \frac{1}{n^2} + \frac{9}{n^6} \right) \).

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre cómo se llegó a esta expresión o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se derivan los coeficientes de Fourier de una función periódica?
2. ¿Qué representa la integral de \( f^2(x) \) sobre un intervalo?
3. ¿Cómo se puede verificar la convergencia de una serie de Fourier?
4. ¿Cuál es la relación entre los coeficientes de Fourier y la energía de una señal?
5. ¿Qué importancia tiene la condición \( f(-\pi) = f(\pi) \) en la serie de Fourier?

### Tip:
Recuerda que la integral de \( f^2(x) \) en un intervalo completo nos da la energía total de la función en ese intervalo.

Learn how to calculate the integral of f^2(x) over [-π, π] using Fourier series coefficients. Understand the application of Fourier coefficients, Parseval's theorem, and energy of functions in integral calculus. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

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