Tarea 8:

1. Un jugador de f ́utbol patea la pelota para que tenga un “tiempo de suspensi ́on” (tiempo de

recorrido) de 4.50 s y aterrice a 50 yardas (= 45.7 m) de distancia. Si la pelota abandona el pie

del jugador a 5.0 ft (= 1.52 m) de altura sobre el terreno, ¿cu ́al es su velocidad inicial (magnitud y direccion)?

Este problema trata de un movimiento parabólico, en el que se busca encontrar la velocidad inicial (magnitud y dirección) con la que un jugador de fútbol patea una pelota, dado el tiempo de vuelo total y la distancia horizontal recorrida. Para resolverlo, utilizaremos las ecuaciones del movimiento parabólico.

### Datos proporcionados:
- Tiempo de vuelo total: \( t = 4.50 \, \text{s} \)
- Distancia horizontal: \( d = 45.7 \, \text{m} \)
- Altura inicial: \( y_0 = 1.52 \, \text{m} \)

### Suposiciones:
- La aceleración debida a la gravedad \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \).
- No hay resistencia del aire.

La velocidad inicial de un proyectil se puede descomponer en dos componentes:
- Componente horizontal: \( v_{0x} \)
- Componente vertical: \( v_{0y} \)

El objetivo es encontrar la magnitud de la velocidad inicial \( v_0 \) y el ángulo de lanzamiento \( \theta \).

#### 1. Movimiento horizontal
Sabemos que la distancia horizontal es:

\[
d = v_{0x} \cdot t
\]

Como el tiempo total de vuelo es 4.50 s y la distancia recorrida horizontalmente es 45.7 m, podemos encontrar la componente horizontal de la velocidad inicial \( v_{0x} \):

\[
v_{0x} = \frac{d}{t} = \frac{45.7 \, \text{m}}{4.50 \, \text{s}} \approx 10.16 \, \text{m/s}
\]

#### 2. Movimiento vertical
Para el movimiento vertical, la ecuación de posición vertical es:

\[
y(t) = y_0 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g t^2
\]

Dado que la pelota regresa al suelo (altura final es \( y(t) = 0 \)) después de 4.50 s, sustituimos los valores en la ecuación:

\[
0 = 1.52 \, \text{m} + v_{0y} \cdot 4.50 \, \text{s} - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot (4.50 \, \text{s})^2
\]

Resolviendo para \( v_{0y} \):

\[
0 = 1.52 + 4.50 v_{0y} - 99.225
\]

\[
v_{0y} = \frac{99.225 - 1.52}{4.50} \approx 21.73 \, \text{m/s}
\]

#### 3. Magnitud de la velocidad inicial
Ahora que tenemos las componentes horizontal \( v_{0x} \) y vertical \( v_{0y} \), podemos encontrar la magnitud de la velocidad inicial utilizando el teorema de Pitágoras:

\[
v_0 = \sqrt{v_{0x}^2 + v_{0y}^2}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
v_0 = \sqrt{(10.16)^2 + (21.73)^2} \approx 23.88 \, \text{m/s}
\]

#### 4. Ángulo de lanzamiento
El ángulo de lanzamiento \( \theta \) se obtiene usando la función tangente:

\[
\tan(\theta) = \frac{v_{0y}}{v_{0x}}
\]

\[
\theta = \tan^{-1}\left( \frac{21.73}{10.16} \right) \approx 64.78^\circ
\]

### Resultado final:
- **Magnitud de la velocidad inicial**: \( v_0 \approx 23.88 \, \text{m/s} \)
- **Ángulo de lanzamiento**: \( \theta \approx 64.78^\circ \)

¿Te gustaría que te proporcione más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan las componentes de la velocidad inicial en un lanzamiento parabólico?
2. ¿Cómo afecta la altura inicial en el movimiento parabólico?
3. ¿Qué sucede si se cambia el ángulo de lanzamiento en un tiro parabólico?
4. ¿Cuál es la relación entre el tiempo de vuelo y la altura máxima en un lanzamiento parabólico?
5. ¿Cómo influye la aceleración gravitacional en un tiro parabólico?

### Tip: En problemas de movimiento parabólico, siempre es útil separar los movimientos horizontal y vertical para simplificar los cálculos.

Un jugador de fútbol patea la pelota para que tenga un “tiempo de suspensión” de 4.50 s y aterrice a 50 yardas (= 45.7 m) de distancia. Si la pelota abandona el pie del jugador a 5.0 ft (= 1.52 m) de altura sobre el terreno, ¿cuál es su velocidad inicial (magnitud y dirección)?

Learn how to calculate the initial velocity (magnitude and direction) of a football in a projectile motion problem. The problem involves a 4.50 s flight time and a distance of 45.7 meters. This step-by-step solution explains key concepts such as projectile motion, kinematic equations, and the Pythagorean theorem. Suitable for students in Grades 11-12.

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