Por qué no se habla de sistemas consistentes indeterminados cuando se trabajan con combinaciones lineales?

Pregunto por lo siguiente: 

Para poder saber si la combinación lineal existe se debe de hacer una matriz que tenga las operaciones y resolverla por gauss y si el sistema da consistente determinado es que existe combinación lineal, pero si da inconsistente es que se asume que no hay combinación lineal. Pero, según veo no hay interpretación por si el sistema da consistente indeterminad

Tu observación es interesante y se refiere a la relación entre la solución de un sistema de ecuaciones lineales y la existencia de combinaciones lineales en el contexto de espacios vectoriales. Aquí está la explicación detallada:

### Combinaciones Lineales y Sistemas de Ecuaciones

Cuando se habla de combinaciones lineales, generalmente nos referimos a si un vector puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores. Para determinar esto, se plantea un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

\[
a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{b}
\]

donde \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \) son vectores dados y \( \mathbf{b} \) es el vector que queremos expresar como combinación lineal. Los coeficientes \( a_1, a_2, \dots, a_n \) son las incógnitas del sistema.

### Interpretación de los Resultados del Sistema

1. **Sistema Consistente Determinado:** Si el sistema tiene una única solución, significa que el vector \( \mathbf{b} \) se puede expresar de **una única forma** como una combinación lineal de los vectores \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \). Esto indica que los vectores son linealmente independientes y \( \mathbf{b} \) está en el espacio generado por ellos.

2. **Sistema Inconsistente:** Si el sistema es inconsistente, significa que **no existe** ninguna combinación lineal de \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \) que dé como resultado el vector \( \mathbf{b} \). En otras palabras, \( \mathbf{b} \) no está en el espacio generado por los vectores \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \).

3. **Sistema Consistente Indeterminado:** Si el sistema es consistente indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones, esto significa que \( \mathbf{b} \) puede expresarse como una combinación lineal de \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \) de **infinitas formas diferentes**. Esto ocurre cuando los vectores \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n \) son linealmente dependientes, lo que implica que existe redundancia entre ellos.

### ¿Por Qué No Se Habla Mucho del Caso Indeterminado?

En muchos contextos, el enfoque principal está en determinar si un vector **puede** o **no** ser expresado como una combinación lineal de otros, lo que corresponde a saber si el sistema es consistente o inconsistente. Cuando el sistema es consistente indeterminado, el hecho de que existan infinitas soluciones es simplemente una confirmación de que \( \mathbf{b} \) pertenece al espacio generado por

Por qué no se habla de sistemas consistentes indeterminados cuando se trabajan con combinaciones lineales?
Pregunto por lo siguiente:
Para poder saber si la combinación lineal existe se debe de hacer una matriz que tenga las operaciones y resolverla por gauss y si el sistema da consistente determinado es que existe combinación lineal, pero si da inconsistente es que se asume que no hay combinación lineal. Pero, según veo no hay interpretación por si el sistema da consistente indeterminad.

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