Una línea de carga con densidad lineal λ = 5 μC/m se extiende desde x = −3 m hasta x = 3 m a lo largo
del eje x. Calcula el campo eléctrico en el punto P (0, 4) metros.
a) Determina el campo eléctrico en P debido a la línea de carga. 

Para determinar el campo eléctrico generado por una línea de carga con densidad lineal \(\lambda = 5 \, \mu C/m\) en el punto \(P(0, 4)\) metros, usaremos la ley de Coulomb y el principio de superposición para una distribución continua de carga.

### Datos:
- Densidad lineal de carga: \(\lambda = 5 \, \mu C/m = 5 \times 10^{-6} \, C/m\).
- La línea de carga se extiende desde \(x = -3 \, m\) hasta \(x = 3 \, m\).
- El punto de observación es \(P(0, 4) \, m\), que se encuentra en el eje \(y\).

El campo eléctrico infinitesimal en el punto \(P\) debido a un elemento infinitesimal de carga \(dq\) en la línea de carga se puede calcular utilizando la ley de Coulomb:

\[
d\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} \hat{r}
\]

donde:
- \(\varepsilon_0\) es la permitividad del espacio libre (\(\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)\)).
- \(dq = \lambda \, dx\), siendo \(dx\) el elemento infinitesimal de longitud.
- \(r\) es la distancia desde un punto \(x\) en la línea de carga hasta el punto \(P(0, 4)\), que se puede expresar como:
  \[
  r = \sqrt{x^2 + 4^2} = \sqrt{x^2 + 16}
  \]
- El vector unitario \(\hat{r}\) apunta desde el elemento de la línea de carga hacia el punto \(P\), con componentes en \(x\) y \(y\).

### Descomposición del campo eléctrico:

Cada elemento de carga infinitesimal en la línea genera un campo eléctrico con componentes \(dE_x\) y \(dE_y\), donde:

\[
dE_x = dE \cdot \frac{x}{r}, \quad dE_y = dE \cdot \frac{4}{r}
\]

Como la línea de carga es simétrica respecto al eje \(y\), los componentes \(dE_x\) de los elementos de carga a la izquierda y a la derecha de \(x = 0\) se cancelan entre sí. Por lo tanto, el campo eléctrico total en el punto \(P\) solo tendrá una componente en la dirección \(y\), \(E_y\).

La magnitud del campo eléctrico infinitesimal en \(y\) es:

\[
dE_y = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda \, dx}{r^2} \frac{4}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4 \lambda \, dx}{(x^2 + 16)^{3/2}}
\]

### Campo eléctrico total en \(y\):

Para obtener el campo total, integramos \(dE_y\) a lo largo de la línea de carga desde \(x = -3\) hasta \(x = 3\):

\[
E_y = \int_{-3}^{3} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4 \lambda \, dx}{(x^2 + 16)^{3/2}}
\]

Simplificamos los términos constantes:

\[
E_y = \frac{4 \lambda}{4\pi \varepsilon_0} \int_{-3}^{3} \frac{dx}{(x^2 + 16)^{3/2}}
\]

### Solución de la integral:

Esta integral tiene una solución estándar:

\[
\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}}
\]

En nuestro caso, \(a = 4\). Aplicando los límites de integración:

\[
E_y = \frac{4 \lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{x}{16 \sqrt{x^2 + 16}} \right]_{-3}^{3}
\]

Evaluamos en los límites:

\[
E_y = \frac{4 \times 5 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.854 \times 10^{-12}} \left( \frac{3}{16 \sqrt{3^2 + 16}} - \frac{-3}{16 \sqrt{(-3)^2 + 16}} \right)
\]

Observamos que ambos términos son iguales, por lo que se duplica el resultado:

\[
E_y = \frac{20 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.854 \times 10^{-12}} \frac{3}{16 \sqrt{9 + 16}}
\]

\[
E_y = \frac{20 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.854 \times 10^{-12}} \frac{3}{16 \times \sqrt{25}} = \frac{20 \times 10^{-6}}{4 \pi \times 8.854 \times 10^{-12}} \frac{3}{16 \times 5}
\]

\[
E_y = \frac{20 \times 10^{-6} \times 3}{4 \pi \times 8.854 \times 10^{-12} \times 80}
\]

Finalmente, calculamos el valor numérico para \(E_y\).

### Resultado numérico:

Calculamos este valor final.El campo eléctrico total en el punto \(P(0, 4)\) metros debido a la línea de carga es aproximadamente:

\[
E_y \approx 6740.81 \, \text{N/C}
\]

Este campo eléctrico tiene solo una componente en la dirección \(y\), ya que las componentes \(x\) se cancelan debido a la simetría de la línea de carga.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afectaría el campo eléctrico si la línea de carga fuera más larga?
2. ¿Cómo cambiaría el resultado si el punto \(P\) estuviera a una distancia diferente en el eje \(y\)?
3. ¿Cómo se comporta el campo eléctrico si el punto \(P\) estuviera en el eje \(x\)?
4. ¿Qué sucede con el campo eléctrico si la densidad de carga fuera negativa?
5. ¿Cómo se integra el campo eléctrico de distribuciones de carga con geometrías más complejas?

**Tip**: Para distribuciones de carga simétricas, los componentes de campo eléctrico a lo largo de un eje suelen simplificarse debido a la cancelación de contribuciones en direcciones opuestas.

Una línea de carga con densidad lineal λ = 5 μC/m se extiende desde x = −3 m hasta x = 3 m a lo largo del eje x. Calcula el campo eléctrico en el punto P (0, 4) metros. a) Determina el campo eléctrico en P debido a la línea de carga.

Learn how to calculate the electric field at point P(0, 4) meters due to a line of charge with linear charge density λ = 5 μC/m, extending from x = -3 m to x = 3 m along the x-axis. This problem covers the application of Coulomb's law and vector calculus for continuous charge distributions. Suitable for undergraduate-level physics students.

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