

Calcule o Determinante da matriz:

| 2  x  2 |
| 1  1  x | = -3
| 1  1  6 |

Para calcular o determinante da matriz \( 3 \times 3 \):

\[
\text{Matriz} =
\begin{pmatrix}
2 & x & 2 \\
1 & 1 & x \\
1 & 1 & 6
\end{pmatrix}
\]

Podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, utilizaremos a expansão pelos cofatores:

\[
\text{Determinante} = 2 \times 
\begin{vmatrix}
1 & x \\
1 & 6
\end{vmatrix}
- x \times 
\begin{vmatrix}
1 & x \\
1 & 6
\end{vmatrix}
+ 2 \times 
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
\]

Agora, calculamos os determinantes das submatrizes \(2 \times 2\):

1. Para a submatriz \(\begin{pmatrix} 1 & x \\ 1 & 6 \end{pmatrix}\):

\[
\text{Determinante} = (1 \times 6) - (x \times 1) = 6 - x
\]

2. Para a submatriz \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\):

\[
\text{Determinante} = (1 \times 1) - (1 \times 1) = 1 - 1 = 0
\]

Substituindo de volta na expressão do determinante original:

\[
\text{Determinante} = 2 \times (6 - x) - x \times (6 - x) + 2 \times 0
\]

Simplificando:

\[
\text{Determinante} = 12 - 2x - (6x - x^2) = 12 - 2x - 6x + x^2 = x^2 - 8x + 12
\]

De acordo com o enunciado, o determinante é igual a \(-3\):

\[
x^2 - 8x + 12 = -3
\]

Agora, resolvemos a equação:

\[
x^2 - 8x + 12 + 3 = 0
\]

\[
x^2 - 8x + 15 = 0
\]

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Onde \( a = 1 \), \( b = -8 \), e \( c = 15 \):

\[
x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \times 1 \times 15}}{2 \times 1}
\]

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}
\]

Assim, temos duas soluções para \( x \):

\[
x_1 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]
\[
x_2 = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]

Portanto, as soluções para \( x \) são \( \mathbf{x = 5} \) e \( \mathbf{x = 3} \).

---

Você tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes? 

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como se aplica a regra de Sarrus para determinantes de matrizes \(3 \times 3\)?
2. Qual é o significado geométrico de um determinante?
3. Como resolver uma equação quadrática utilizando o método de Bhaskara?
4. Como calcular determinantes de matrizes de ordem maior?
5. Quais são as propriedades dos determinantes?

**Dica:** Em muitos problemas de matrizes, reconhecer padrões ou simplificar a matriz pode facilitar o cálculo do determinante.

Learn how to calculate the determinant of a 3x3 matrix with variables using cofactor expansion and Cramer's rule. This problem involves quadratic equations and matrix algebra concepts. Suitable for students in Grades 10-12.

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