calcule a integral de cauchy na função cos(z)/(z(z^2+1)) com contorno sendo um quadrado centrado na origem de lado 4

Para calcular a integral de Cauchy da função \( f(z) = \frac{\cos(z)}{z(z^2 + 1)} \) ao longo de um contorno quadrado centrado na origem com lado 4, seguimos os seguintes passos:

### 1. **Definir o contorno e a função**:
O contorno é um quadrado centrado na origem com lado 4. Portanto, os vértices do quadrado estão nos pontos \( \pm 2 \pm 2i \).

A função dada é:
\[
f(z) = \frac{\cos(z)}{z(z^2 + 1)}
\]

### 2. **Identificar os polos dentro do contorno**:
Para aplicar o teorema do resíduo, precisamos identificar os polos da função dentro do contorno. A função \( f(z) \) tem polos onde o denominador é zero:

1. \( z = 0 \) (um polo simples).
2. \( z^2 + 1 = 0 \), ou seja, \( z = \pm i \) (dois polos simples).

Portanto, os polos de \( f(z) \) dentro do contorno são \( z = 0 \), \( z = i \) e \( z = -i \).

### 3. **Calcular os resíduos nos polos**:
Os resíduos de \( f(z) \) nos polos podem ser calculados da seguinte maneira:

- **Resíduo em \( z = 0 \)**:
  \[
  \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{\cos(z)}{z(z^2 + 1)} = \lim_{z \to 0} \frac{\cos(z)}{z^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1
  \]

- **Resíduo em \( z = i \)**:
  \[
  \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \frac{\cos(z)}{z(z^2 + 1)} 
  \]
  Como \( z^2 + 1 = (z - i)(z + i) \) quando \( z \) se aproxima de \( i \):
  \[
  \text{Res}(f, i) = \frac{\cos(i)}{i(i + i)} = \frac{\cos(i)}{2i^2} = \frac{\cos(i)}{-2} = -\frac{\cos(i)}{2}
  \]

- **Resíduo em \( z = -i \)**:
  \[
  \text{Res}(f, -i) = \lim_{z \to -i} (z + i) \cdot \frac{\cos(z)}{z(z^2 + 1)} 
  \]
  Como \( z^2 + 1 = (z + i)(z - i) \) quando \( z \) se aproxima de \( -i \):
  \[
  \text{Res}(f, -i) = \frac{\cos(-i)}{-i(-i + i)} = \frac{\cos(-i)}{-2(-i^2)} = \frac{\cos(-i)}{-2 \cdot (-1)} = -\frac{\cos(-i)}{2}
  \]

Como \( \cos(-i) = \cos(i) \) (pela paridade do cosseno), temos:
\[
\text{Res}(f, -i) = -\frac{\cos(i)}{2}
\]

### 4. **Aplicar o teorema do resíduo**:
A integral ao longo do contorno \( C \) é dada pela soma dos resíduos dentro do contorno multiplicada por \( 2\pi i \):
\[
\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \left( \text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, i) + \text{Res}(f, -i) \right)
\]
Substituindo os valores:
\[
\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \left( 1 - \frac{\cos(i)}{2} - \frac{\cos(i)}{2} \right) = 2\pi i \left( 1 - \cos(i) \right)
\]

### **Resposta Final**:
A integral de Cauchy é:
\[
\oint_C \frac{\cos(z)}{z(z^2 + 1)} \, dz = 2\pi i \left( 1 - \cos(i) \right)
\]

---

Deseja mais detalhes sobre os passos, ou tem alguma dúvida? Aqui estão algumas perguntas relacionadas que você pode considerar:

1. Como se aplica o teorema do resíduo em diferentes contornos?
2. Qual é o significado físico ou geométrico da integral de Cauchy?
3. Como calcular o cosseno de um número complexo, como \( \cos(i) \)?
4. Quais são as propriedades das funções holomorfas que ajudam na aplicação do teorema de Cauchy?
5. Como os polos simples diferem de polos de ordem maior ao calcular resíduos?

**Dica:** Ao calcular resíduos em polos de ordem maior, técnicas diferentes, como derivadas, podem ser necessárias para encontrar o valor correto.

Learn how to calculate the Cauchy integral of the function cos(z)/(z(z^2 + 1)) over a square contour centered at the origin with side length 4. This problem involves identifying poles, calculating residues, and applying Cauchy's Integral Theorem and Residue Theorem.

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