Un cultivo de bacterias crece a razón de P(t) = 300e

0.4t especímenes cada hora, determina el tamaño

del cultivo en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2. Utiliza integrales para resolver el problema.

Para determinar el tamaño del cultivo de bacterias en el intervalo \(0 \leq t \leq 2\) horas usando integrales, debemos calcular el número total de bacterias producidas en ese tiempo. La tasa de crecimiento de las bacterias está dada por \( P(t) = 300e^{0.4t} \) especímenes por hora.

### 1. Planteamiento del problema
La función \( P(t) = 300e^{0.4t} \) describe la tasa de crecimiento del cultivo de bacterias, es decir, la cantidad de bacterias por hora. Para encontrar el tamaño total del cultivo en el intervalo \(0 \leq t \leq 2\), integramos la función \( P(t) \) en ese intervalo.

### 2. Cálculo del tamaño del cultivo
La integral que nos dará el número total de bacterias en el intervalo \(0 \leq t \leq 2\) es:

\[
\text{Tamaño total} = \int_{0}^{2} 300e^{0.4t} \, dt
\]

### 3. Resolución de la integral
Primero, resolvamos la integral:

\[
\int 300e^{0.4t} \, dt
\]

Hacemos un cambio de variable:

Sea \( u = 0.4t \), entonces \( du = 0.4 \, dt \) o \( dt = \frac{du}{0.4} \).

La integral se convierte en:

\[
\int 300e^{u} \cdot \frac{du}{0.4} = \frac{300}{0.4} \int e^{u} \, du = 750 \int e^{u} \, du
\]

La integral de \( e^{u} \) es simplemente \( e^{u} \):

\[
750 \int e^{u} \, du = 750e^{u} + C
\]

Volviendo a la variable original \( u = 0.4t \):

\[
750e^{0.4t} + C
\]

### 4. Evaluación de la integral definida
Ahora evaluamos la integral en el intervalo de \( t = 0 \) a \( t = 2 \):

\[
\int_{0}^{2} 300e^{0.4t} \, dt = 750e^{0.4t} \Big|_{0}^{2} 
\]

Evaluando los límites:

\[
750e^{0.4(2)} - 750e^{0.4(0)} = 750e^{0.8} - 750e^{0}
\]

Sabemos que \( e^0 = 1 \), así que:

\[
750e^{0.8} - 750(1)
\]

Calculando el valor numérico:

\[
750(e^{0.8} - 1) 
\]

### 5. Resultado final
Calculando el valor numérico de \( e^{0.8} \) (aproximadamente \( 2.22554 \)):

\[
750(2.22554 - 1) \approx 750(1.22554) \approx 919.155
\]

Por lo tanto, el tamaño total del cultivo en el intervalo de 0 a 2 horas es aproximadamente **919 especímenes**.

### ¿Tienes alguna pregunta o deseas más detalles?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afectaría el tamaño del cultivo si la tasa de crecimiento fuera \( P(t) = 400e^{0.4t} \)?
2. ¿Qué sucedería si se extiende el intervalo a \(0 \leq t \leq 4\)?
3. ¿Cómo se aplicaría el cálculo si la tasa de crecimiento dependiera de \( t^2 \) en lugar de \( t \)?
4. ¿Qué pasaría si la tasa de crecimiento decreciera con el tiempo?
5. ¿Cómo interpretarías el resultado si la función tuviera un coeficiente negativo en la tasa de crecimiento?

### Tip:
Recuerda que el cálculo de integrales en un intervalo definido da el área bajo la curva de la función en ese intervalo, proporcionando información sobre acumulación o totalización, como en este caso de crecimiento bacteriano.

Learn how to calculate the size of a bacterial culture over time using integrals and the exponential growth function P(t) = 300e^(0.4t). This problem involves integrating the growth rate function over a specified time interval and applying exponential function properties. Suitable for college-level students studying calculus and exponential growth.

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