Étape 2 : Localisation du personnage dans la prison Maintenant que vous vous êtes rendus à la prison où votre personnage se trouve, vous devez le faire sortir. Au moment où vous arrivez, vous n’avez aucune idée d’où votre personnage se situe. Vous devrez donc le localiser dans la prison. "Ok c’est cool and all, mais j’ai aucune [REDACTED] d’idée de comment trouver mon personnage". FRET NOT, CHERS ÉTUDIANTS DE PREMIÈRE, les explications s’en viennent. Votre personnage est modélisé par une fonction d’onde Ψ(𝑥,𝑡) (qui est très pratique !), et la prison peut être traitée comme un puits de potentiel 1D très profond, mais pas infini. Votre personnage est donc fortement retenu par le puits. Pour les besoins de la cause, on ignore tout effet tunnel. Il est possible de tirer beaucoup d’information de la fonction d’onde, notamment la position moyenne du personnage. Il est donc évident que vous devrez utiliser la fonction d’onde pour localiser le personnage dans la prison ! Voici comment trouver la position moyenne d’un personnage. Afin de trouver la position moyenne d’un personnage, on doit "dire" à la fonction d’onde qu’on veut obtenir de l’information sur la position et ce, sur quel intervalle. Pour ce faire, on utilise ce qu’on appelle un opérateur. Ledit opérateur va opérer sur la fonction pour lui retirer l’information que l’opérateur demande. Supposons qu’on cherche la valeur moyenne d’un opérateur quelconque Ω sur un intervalle [𝑎,𝑏], on trouvera sa valeur moyenne en calculant ˆ𝑏 Ψ*(𝑥,𝑡)ΩΨ(𝑥,𝑡)𝑑𝑥 (0.1) Où Ψ* (𝑥,𝑡) est le conjugué complexe de la fonction d’onde, et ⟨Ω⟩ est la valeur moyenne de l’opérateur. Dans notre cas, on cherche de l’information sur la position, donc on doit utiliser l’opérateur position. L’opérateur position est simplement 𝑥. On remplace Ω par 𝑥 dans l’équation (0.1) pour obtenir l’équation pour la position moyenne ˆ𝑏 𝑎. Ψ*(𝑥,𝑡)xΨ(𝑥,𝑡)𝑑𝑥 (0.1) Donc en conclusion, l’équation (0.2) permet de trouver la position moyenne d’un personnage sur une région qui s’étend de 𝑥 = 𝑎 à 𝑥 = 𝑏 (Indice : la région d’intérêt dans la prison est la prison au complet...). Les fonctions que nous allons vous fournir n’auront pas de dépendance temporelle. Vous pouvez quand même utiliser (0.2). Si jamais vous ne savez pas ce qu’est un complexe conju- gué, voici un lien quand même cool. Maintenant que vous avez les connaissances nécessaires sur les fonctions d’ondes et les opérateurs, voici les fonctions d’ondes des personnages et les prisons dans lesquelles ils sont pris Ψ(𝑥)=√︁ 2 √︀𝑥cos(𝑥)sur[0,𝜋]